DAL NUMERO INTERO AL NUMERO REALE

Fin dall'infanzia ognuno di noi ha appreso a trafficare coi numeri (inizialmente coi numeri interi, poi coi numeri decimali e le frazioni, successivamente coi numeri relativi).

Ogni persona, poi, abitualmente risolve problemi di varia natura svolgendo operazioni, tramite le quali a partire da certi numeri se ne ricavano altri; e questo, anche al di fuori dell'ambito scolastico, o tecnico, o scientifico.

L'imbianchino utilizza i numeri per calcolare le aree delle pareti che dovrà tinteggiare, la casalinga è sempre alle prese con percentuali e sconti, il giocatore si chiede qual è la probabilità di vincere puntando su una data combinazione alla roulette, o effettuando una certa giocata al lotto o al superenalotto; se andiamo a una determinata velocità, quanti minuti impiegheremo per coprire un certo percorso? ecc. ecc.

Siamo talmente abituati ad USARE i numeri che a ben pochi viene in mente una certa domanda a riguardo. Prova a sottoporla alle persone che conosci, e prova a rispondere tu stesso. E’ ben semplice da formulare: "Che cos'è un numero?"

1. PRENDIAMO CONFIDENZA COL CONCETTO DI “NUMERO INTERO”

Sia M l'insieme dei maschi di una certa classe di una certa scuola superiore, F l'insieme delle femmine della stessa classe.

Alcuni maschi dell'insieme M filano con alcune femmine dell'insieme F;

la situazione è illustrata dal seguente grafo:

Fra i due insiemi M ed F sussiste dunque una "relazione" o "corrispondenza".

Esistono però degli elementi di M ai quali non corrisponde alcun elemento di F (si tratta di Dario e Italo), ed esistono pure alcuni elementi di F cui non corrisponde alcun elemento di M (e sono Tiziana, Laura e Rita).

C'è poi un elemento di M cui corrisponde più di un elemento di F(Giuseppe, cui corrispondono Barbara e Valentina).

Anche fra l'insieme A delle asole del mio golfino e l'insieme B dei bottoni dello stesso golfino esiste un'ovvia "relazione" o corrispondenza".

Tale corrispondenza ha però una caratteristica cha la differenzia profondamente dalla corrispondenza precedente, perchè questa volta

· AD OGNI ASOLA CORRISPONDE UNO ED UN SOLO BOTTONE;

· E VICEVERSA, AD OGNI BOTTONE CORRISPONDE UNA ED UNA SOLA ASOLA.

Una corrispondenza fra due insiemi X e Y che sia del tipo asole-bottoni,cioè: tale che ad ogni elemento di X corrisponde uno ed un solo elemento di Y, e viceversa, si dice "corrispondenza biunivoca" (o "corrispondenza uno-a-uno").

Prendiamo ora i due insiemi seguenti:

E’ chiaro che noi potremo fissare molte "corrispondenze" fra gli elementi di tali due insiemi (non pretendo che tali corrispondenze debbano per forza avere un qualche significato: stiamo solo "giocando").

Ad esempio:

... ma è altrettanto chiaro che non potremo mai stabilire fra questi due insiemi una corrispondenza biunivoca.

Invece i seguenti due insiemi possono, volendo, essere posti in corrispondenza biunivoca:

Gli insiemi R ed S possono essere messi in corrispondenza biunivoca perchè "hanno qualcosa in comune". E si capisce benissimo "che cosa!"

Ci sono infiniti altri insiemi che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con l'insieme R, o l'insieme S:

· ad esempio, l'insieme delle dita della mia mano destra;

· l'insieme formato da Qui, Quo, Qua, Paperino e Paperone;

· ecc. ecc. ecc.

Tutti questi infiniti insiemi hanno dunque in comune "un qualcosa".

COS’E’ UN “NUMERO INTERO”

Si dice "numero intero", quel qualcosa che hanno in comune tutti gli insiemi che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con un insieme dato.

Siamo giunti così ad una definizione del concetto di numero intero, basata su di un concetto ancora più semplice:

quello di "corrispondenza biunivoca fra insiemi".

A questo punto, è possibile fondare su basi rigorose tutto lo studio delle operazioni coi numeri interi, stabilendo per ogni operazione una precisa definizione (es. "dicesi 'somma' di due numeri interi a, b ... ecc. ecc.") basata su corrispondenze biunivoche, e analizzando le proprietà delle operazioni tramite ragionamenti condotti sulle corrispondenze biunivoche.

Di questo studio rigoroso, esploreremo le basi nei capitoli successivi.

Nel seguito, l'insieme dei numeri interi

verrà indicato col simbolo N:

N è l'iniziale di "naturali" (inglese: natural).

E' la stessa cosa dire "numeri naturali" o "numeri interi"; soltanto che la locuzione "numeri naturali" è meno ambigua, perché, a seconda del contesto, quando si dice “interi” ci si può riferire in certi casi agli “interi senza segno” (i “naturali”, appunto), in altri agli “interi con segno (positivi, negativi, nulli). Se invece parliamo di "numeri naturali" non c'è ambiguità, ... basta la parola!