10.  UN’ INTRODUZIONE AL CONCETTO DI NUMERO IRRAZIONALE

 

Si dice "radice quadrata" di un numero positivo a, quel numero positivo b che elevato al quadrato dà come risultato a.   Esempi:

 

Ci vogliamo ora occupare in particolare del numero .

Tale numero è compreso fra  14/10 e 15/10, essendo

 

Osserviamo inoltre le seguenti coppie di disuguaglianze:

 

 

 

 

Quale sarà la frazione che elevata al quadrato dà ESATTAMENTE 2 ?

La risposta nel sorprendente teorema che segue:

 

Teorema   Non esiste nessuna frazione (=rapporto fra due interi) la quale, elevata al quadrato, dia come risultato 2.   Dimostrazione Per assurdo. Supponiamo, per assurdo, che esista una frazione la quale, elevata al quadrato, dia come risultato 2. Detta, per fissare le idee,  tale frazione, avremo: . Riduciamo la frazione  ai minimi termini, se già non lo è; otterremo una frazione , con p e q  primi fra loro, (cioè: privi di divisori comuni; in altre parole: non più semplificabili), tale che . Si potrà scrivere quindi la seguente catena di deduzioni:       Ma nel corso di tale catena abbiamo dedotto che p e q sono entrambi PARI, cioè entrambi divisibili per 2, mentre avevamo supposto che la frazione p/q fosse ridotta ai minimi termini, vale a dire non più semplificabile. Ricapitoliamo: supponendo che esistesse  una frazione m/n tale che (m/n)2=2, siamo pervenuti a conclusioni assurde. Non esiste perciò alcuna frazione che elevata al quadrato dia 2.

 

Siamo dunque costretti ad ammettere che il numero  non è esprimibile sotto forma di frazione.

Analogamente, si può dimostrare che non sono esprimibili sotto forma di frazione i seguenti numeri:

·          

e, in generale, tutte le radici quadrate di numeri interi che non sono “quadrati perfetti”

(si dice “quadrato perfetto” un intero che sia il quadrato di un altro intero);

 

·          

e, in generale, tutte le radici cubiche di numeri interi che non sono "cubi perfetti";

 

·         le radici n-esime degli interi che non sono n-esime potenze perfette;

 

·         il numero        (che interviene nello studio della circonferenza e del cerchio)

·         il numero        (un altro numero “principe” della matematica,

che si incontra nelle più svariate questioni)

·         ecc. ecc. ecc.

 

Cosa si intende per “numero irrazionale” Un numero che non può essere espresso sotto forma di frazione (ossia, di rapporto fra due numeri interi) viene detto "numero irrazionale".

 

IMPORTANTE

In realtà, così impostato, il discorso non è rigoroso sul piano logico-metodologico.

Infatti, in questo modo si dà già per scontata l’esistenza di numeri siffatti.

Più corretto, dal punto di vista matematico, è semmai il PREANNUNCIARE LA DEFINIZIONE di nuovi numeri, di cui si avverte per un motivo o per l’altro l’ “esigenza”, che vadano ad ampliare l’insieme numerico fin qui disponibile (quello dei razionali).

Vedremo più avanti come si possa stabilire in termini rigorosi una tale definizione (“definire” un insieme numerico comporta anche di stabilire le modalità di effettuazione, con le nuove entità numeriche, di quattro operazioni che si configurino come le estensioni, ai nuovi numeri introdotti, delle operazioni +, -, *, : già definite nell’ambito degli insiemi numerici precedenti, e ne conservino le proprietà).

 

Al di fuori del "recinto" dei numeri razionali troviamo, dunque, infiniti altri numeri, i numeri irrazionali. L'insieme dei numeri irrazionali può essere indicato col simbolo .   L'insieme di TUTTI i numeri, sia razionali che irrazionali, insomma: l'insieme , viene detto "insieme dei numeri reali", e indicato col simbolo .   Per indicare l’insieme degli irrazionali, si preferisce di solito al simbolo  il simbolo di differenza insiemistica .