11.  UN ALTRO PASSO IN AVANTI VERSO

LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI “NUMERO IRRAZIONALE”

 

Il numero , come abbiamo visto, è irrazionale (più rigorosamente: poiché abbiamo dimostrato che non esiste alcuna frazione che elevata al quadrato dia 2, quando andremo a definire un numero che rappresenti il risultato dell’operazione , diremo che si tratterà di un numero irrazionale).

 

 

Tuttavia, essendo

            

è evidente che i numeri razionali

 

andranno considerati tutti come delle approssimazioni per difetto, via via più precise, del numero .

 

 

E, analogamente, essendo

             

i numeri razionali

 

andranno considerati tutti come approssimazioni per eccesso, via via più precise, di .

 

 

Ora, spacchiamo l’insieme Q dei razionali in due sottoinsiemi: famiglia D, famiglia E.

Nell’insieme D mettiamo tutti i numeri razionali che sono: negativi, oppure positivi ma tali che il loro quadrato sia inferiore a 2:

 

e nell’insieme E mettiamo tutti gli altri numeri razionali, ovvero i razionali positivi il cui quadrato è superiore a 2:

 

 

In qualche modo, comprendiamo che il numero irrazionale  deve trovarsi “stretto” fra i numeri razionali della famiglia D, e quelli della famiglia E !!!

La coppia di insiemi (D, E), in un certo senso, "individua", "esprime", quell’entità numerica il cui quadrato è 2, ossia il numero irrazionale  !!!!

Ma allora un numero irrazionale potrà essere visto come “figlio” di due famiglie di numeri razionali, che, in qualche modo, lo determinano, lo individuano, lo “stringono”.

 

 

Considerazioni di questo tipo suggeriscono, come vedremo meglio più avanti, l’idea fondante per una definizione rigorosa di “numero irrazionale”.

Questa definizione permetterà di "vedere" i numeri irrazionali come "figli" dei numeri razionali (anche se per ogni numero irrazionale, invece di esserci solo una mamma e solo un papà, ci sono ... le infinite mamme dell'insieme D e gli infiniti papà dell'insieme E).

Ciò consentirà di definire le operazioni sui numeri irrazionali facendo riferimento alle operazioni già definite per i numeri razionali. Queste ultime, com'è noto, si riconducono a loro volta ad operazioni su numeri interi, e le operazioni sui numeri interi sono definite a partire dal semplicissimo concetto di corrispondenza biunivoca, o, in alternativa, a partire dagli assiomi di Peano.