13. NUMERI CON LA VIRGOLA TRASFORMABILI IN FRAZIONE, E NON
Le considerazioni fatte ci permettono di comprendere bene il senso di rappresentazioni come quella da cui avevamo avviato il discorso:
Si può dimostrare che la somma 6 + 2/10 + 2/100 + 2/1000 + ... non diverge né oscilla, bensì converge ad un numero ben determinato (compreso fra 6 e 7).
Ed è interessante scoprire che questo numero è razionale, cioè può essere espresso sotto forma di frazione (=rapporto fra due interi). Vediamo come.
Detto x il numero considerato, avremo:
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quindi
da cui
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Verifica tu la correttezza del risultato trovato, effettuando la divisione 56:9 per riportare la frazione 56/9 in forma decimale! Vedrai che si ritrova il numero di partenza 6,2222…
Più in generale, si può dimostrare che
Ogni numero con la virgola illimitato e PERIODICO (cioè, con un gruppo di cifre che si ripete sempre, come un ritornello che appena terminato ricomincia nuovamente, senza fine), è RAZIONALE.
Si può sempre risalire alla frazione generatrice attraverso la semplice la tecnica delle “equazioni sottratte” che abbiamo appena utilizzato.
Naturalmente, la tecnica andrà adattata al caso particolare di volta in volta considerato (il numero è periodico semplice o periodico misto? Quante sono le cifre del periodo? Quante quelle dell’antiperiodo?)
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Esempio: trasformare in
frazione il numero
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si dice “periodo” il gruppo di cifre che si ripete (nell’ esempio, il “periodo” è 456) si dice “antiperiodo” il gruppo di cifre che sta tra la virgola e il periodo (nell’ esempio, l’antiperiodo è 23; se l’antiperiodo non c’è, si parla di numero “periodico semplice”, se invece l’antiperiodo è presente, si parla di “periodico misto”)
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A questo punto, ti sarà forse ritornata in mente la vecchia regola imparata nelle scuole medie per risalire alla frazione generatrice di un numero periodico.
Premesso che
ü si dice “periodo” il gruppo di cifre che si ripete (nell’ultimo esempio, il “periodo” è 456)
ü si dice “antiperiodo” il gruppo di cifre che sta tra la virgola e il periodo
(nell’ultimo esempio, l’antiperiodo è 23;
se l’antiperiodo non c’è, si parla di numero “periodico semplice”,
se invece l’antiperiodo è presente, si parla di “periodico misto”)
la regola prescrive di scrivere:
· a numeratore, il numero dato senza la virgola e senza il segno di periodo,
meno (sottrazione) tutto ciò che sta prima del periodo;
· a denominatore, tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.
Ma ora, conoscendo la tecnica “delle equazioni sottratte” (a partire dalla quale, evidentemente, la regola è stata ricavata) puoi benissimo evitare di scomodare la memoria.
Devi solo aver compreso bene il motivo per cui, nell’impostare le equazioni da sottrarre, il numero x deve essere moltiplicato per una opportuna potenza di 10.
Capito questo, potrai sempre applicare quella tecnica, anziché la regola mnemonica, per risalire alla frazione generatrice.
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Abbiamo visto dunque che un numero decimale PERIODICO si può sempre trasformare in frazione. Anche un numero decimale FINITO si può sempre trasformare in frazione (il procedimento è estremamente
semplice, e lo conosci bene; ad es.:
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Chiediamoci ora: data una frazione m/n, quando si effettua la divisione m:n per portarla sotto forma di un numero decimale, il numero decimale ottenuto di che tipo sarà? a) Sarà sempre finito o periodico? b) Oppure la divisione potrebbe anche generare un numero illimitato (=con infinite cifre dopo la virgola), ma non periodico?
Quando trasformo una frazione in numero con la virgola, effettuando la divisione, possono verificarsi due e due sole eventualità: · o trovo, ad un certo punto, resto 0 e allora mi fermo (ho ottenuto un numero con la virgola FINITO) · oppure, se ciò non avviene, accade una cosa curiosa. Poiché il resto è sempre MINORE del divisore, e quindi esiste soltanto un numero finito di resti possibili, presto o tardi dovrà per forza ripresentarsi un resto identico ad uno dei resti che si erano già presentati prima. E da quel momento, riprendendo a calcolare le cifre del quoziente, evidentemente il calcolo riprodurrà lo stesso gruppo di cifre che erano uscite a partire dalla comparsa precedente dello stesso resto. Si otterrà dunque un numero con la virgola PERIODICO.
E’ quindi del tutto escluso che una frazione possa generare, quando si effettua la divisione, un illimitato non periodico.
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Per chiarire quanto detto, consideriamo ad esempio la trasformazione in numero decimale della frazione 245/198, tramite la divisione 245:198.
Dividendo un numero per 198, uscirà sempre un resto MINORE di 198 (tale resto potrà essere uno dei numeri 0, 1, 2, 3, ... 197). Di conseguenza, non è possibile che, continuando la divisione, compaiano resti sempre diversi; prima o poi dovrà ricomparire un resto che era già stato ottenuto in precedenza. E da quel punto, nel quoziente si riotterranno le stesse cifre che erano state ottenute in precedenza. |
245 198 1,237 ----- 470 396 ------ 740 594 ------ 1460 1386 ------- 74 |
Come si può osservare, si è ripetuto il resto 74, già comparso in precedenza. Il gruppo di cifre 37 è destinato ora a ripetersi all’infinito nel quoziente. |
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Ricapitolando: se si trasforma una frazione in numero con la virgola, si ottiene sempre ü un numero con la virgola FINITO ü o un numero con la virgola PERIODICO. Non si ottiene mai un numero con la virgola illimitato non periodico.
Ma conseguenza di ciò è che i numeri con la virgola ILLIMITATI NON PERIODICI non sono esprimibili sotto forma di frazione: sono dunque IRRAZIONALI. |