14.  L’EQUIVALENTE GEOMETRICO DELL’IRRAZIONALITA’:

L’ “INCOMMENSURABILITA’ “

 

“Misurare” un segmento a significa prendere un altro segmento di riferimento u (detto “unità di misura”) e chiedersi quante volte u è contenuto in a.

Se u è contenuto in a esattamente n volte (n numero naturale), si potrà scrivere

a = nu

e si dirà che “la misura del segmento a, rispetto al segmento u assunto come unità di misura, è n”.

 

Se ciò non avviene, si ricorrerà ai cosiddetti “sottomultipli” di u.

Dato un qualunque segmento u, si dice “sottomultiplo di u secondo n” ciascuno dei segmentini che si ottengono dividendo u in n parti uguali.

Il sottomultiplo di u secondo n si indica col simbolo

 u

(che si può leggere: 1 n-esimo, oppure: l’n-esima parte, di u)

Se l’n-esima parte dell’unità di misura u è contenuta esattamente m volte nel segmento a che intendiamo misurare, potremo scrivere

a =  u =  u

e diremo che “la misura del segmento a, rispetto al segmento u assunto come unità di misura, è il numero razionale m/n”.

 

Può darsi però (cosa molto sorprendente, ma vera!) che per certe coppie di segmenti a, u, ciò non possa avvenire mai!

Può darsi cioè che nessun sottomultiplo di u sia contenuto un numero esatto di volte in a.

In questo caso si dice che a, u sono “incommensurabili”.

 

Definizione. Due segmenti a, u si dicono “incommensurabili” se non hanno nessun sottomultiplo comune.

 

Ad esempio, si può dimostrare che il lato e la diagonale di uno stesso quadrato sono segmenti incommensurabili !

 

La dimostrazione è molto interessante: vediamola.

 

 

Teorema:     il lato e la diagonale di uno stesso quadrato sono segmenti incommensurabili,                 ossia non esiste nessun segmento che sia un loro sottomultiplo comune.

Dimostrazione (con riferimento alla figura sottostante)   Se, per assurdo, esistesse un sottomultiplo s del lato AB del quadrato ABCD, contenuto un numero esatto di volte nella diagonale BD dello stesso quadrato, allora esisterebbero due numeri interi n, m, tali che            AB = ns;  BD = ms I quadrati costruiti sui lati uguali AB e AD potrebbero allora essere suddivisi ciascuno in una griglia di n2 quadratini di lato s, mentre il quadrato costruito sulla diagonale BD potrebbe essere suddiviso in una griglia di m2 quadratini di lato s. D’altra parte, per il Teorema di Pitagora, il quadrato costruito su BD è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su AB e AD, e questo comporta che la somma del numero di quadratini che “piastrellano” i due quadrati costruiti su ciascuno dei due lati AB e AD, sia uguale al numero dei quadratini che “piastrellano” il quadrato costruito sulla diagonale BD. Dunque si avrà n2+n2=m2 ossia 2n2=m2 per cui gli interi n ed m saranno tali che   Ma, come abbiamo già dimostrato, non può esistere alcuna frazione (=rapporto di due interi) che elevata al quadrato dia come risultato 2.

 

 

Se a, u sono incommensurabili, ci dichiareremo dunque sconfitti e rinunceremo ad associare ad a un numero, che ne indichi la lunghezza, valutata rispetto al segmento u, preso come segmento di riferimento?

Ad esempio, se assumiamo come unità di misura per le lunghezze il lato di un certo quadrato, allora diremo che la diagonale di quel quadrato non è misurabile?

Evidentemente, no: avvertiamo tutti una spontanea esigenza di poter parlare di "misura di a, rispetto ad u" pure in questo caso.

Tale misura non potrà, però, essere un numero razionale:

se a ed u sono incommensurabili, preso un qualunque numero razionale m/n, il segmento  u, ossia il segmento ottenuto accostando m segmenti ciascuno uguale all’n-esima parte di u, potrà magari discostarsi pochissimo dal segmento a, ma comunque NON potrà coincidere esattamente con a!

 

Se dunque vogliamo attribuire ad a una "misura rispetto ad u", anche nel caso in cui a ed u siano incommensurabili, questa "misura" non potrà essere un numero razionale.

Dovremo cercare questa misura in un insieme numerico nuovo.

O meglio, dovremo definire un insieme numerico nuovo, nel quale si trovi anche quel numero che andrà assunto come "misura di a rispetto ad u".

 

Supponiamo, dunque, che a ed u siano incommensurabili, e supponiamo che, per due certi numeri razionali m/n e m’/n’, si abbia:

 u < a <  u

Allora, diremo che il numero razionale m/n costituisce una "misura per difetto del segmento a" e che il numero razionale m’/n’ costituisce una "misura per eccesso del segmento a".

 

E' evidente che esisteranno infiniti numeri razionali caratterizzati dal fatto di essere misure per difetto del segmento a; come pure, esisteranno infiniti numeri razionali caratterizzati dal fatto di essere misure per eccesso di a.

 

Ed è pure evidente che potremo sempre trovare una misura per difetto e una misura per eccesso di a, fra loro vicine tanto quanto noi vogliamo.

Infatti, preso un intero k arbitrariamente grande, esisterà un intero h tale che

 u < a <  u

Ora, le due frazioni h/k, (h+1)/k sono rispettivamente una misura per difetto e una per eccesso di a, e la loro differenza vale 1/k; prendendo k molto grande, si può rendere 1/k piccolo quanto si vuole.

 

Viene spontaneo pensare che, in qualche modo, i due insiemi di numeri razionali

D = {misure per difetto di a}

E = {misure per eccesso di a}

"puntano" rispettivamente "dall'alto" e "dal basso", al "vero" valore della misura di a,

"individuano" in qualche modo tale valore.

L'idea è quindi di servirsi di coppie di insiemi di numeri razionali per definire quelle nuove entità numeriche, non appartenenti all'insieme Q, delle quali avvertiamo l'esigenza in relazione al problema di dare ad a una "misura rispetto ad u",anche quando a ed u sono incommensurabili.

 

Le considerazioni fatte, sia in relazione all’irrazionalità che all’incommensurabilità, portano all'elaborazione della teoria che andiamo ad esporre qui di seguito.