16.  Un intermezzo geometrico

Può darsi che una riflessione ispirata a una rappresentazione geometrica riesca a chiarire meglio le cose, “visualizzandole” in qualche modo.

Considera l’ “asse delle ascisse”, o “number line”;

immagina ora, sulla “number line”, rappresentati tutti i numeri RAZIONALI (positivi, negativi, nulli).

A tale scopo, devi immaginare di prendere l’unità di misura u, di dividerla in n parti (costruendo quindi il segmentino s = 1/n u) e poi di allineare uno di seguito all’altro m segmentini uguali a s, a partire dall’origine, sia verso destra che verso sinistra; l’estremità di ciascuno dei due trenini di segmenti sarà il punto, sulla number line, che assoceremo al numero +m/n e, rispettivamente. m/n.

Supponendo di fare questo lavoro per tutte le possibili coppie m, n, otterremo le rappresentazioni di tutti i numeri razionali …

… insomma, così:

Così operando, abbiamo “appiccicato” infinite “etichette” ai punti della “number line” …

… però, inaspettatamente ma innegabilmente, rimangono ancora dei punti sulla retta, che non abbiamo “etichettato”. Ad esempio, i due punti che nella figura qui sotto sono intersezione fra la “number line” e la circonferenza di centro l’origine e raggio uguale alla diagonale di un quadrato il cui lato è l’unità di misura u

Laddove la circonferenza taglia la retta, si potrebbe anche pensare che la retta abbia due “lacune” …

ma ciò è assai poco “convincente”. Piuttosto, è del tutto spontaneo ritenere che anche “lì” ci siano due punti della retta, due punti che però non possiamo associare a numeri razionali.

Non è la retta ad avere due lacune, è piuttosto l’insieme Q a richiedere un opportuno completamento, perché da solo non riesce ad etichettare tutti i punti della retta.

Ora sforzati di pensare esclusivamente a quei punti, ai quali abbiamo appiccicato le “etichette”, perché corrispondevano a numeri RAZIONALI… essi si trovano in ogni “zona” della retta, ma non la riempiono tutta … abbiamo visto infatti che sopravvivono, sulla “number line”, dei punti senza etichetta … come ad esempio i punti di intersezione con la “number line” della circonferenza raffigurata nel disegno precedente.

E’ possibile dimostrare che tali punti “senza etichetta” sono infiniti, e invadono ogni zona della retta, nel senso che fra due qualsiasi punti “etichettati” ne esistono infiniti altri pure “etichettati”, ma anche infiniti altri “non etichettati”.

I punti “non etichettati” “convivono” a ridosso dei punti “etichettati”, e le due specie di punti invadono tutta la retta, riempiendola … mentre i punti “etichettati”, da soli, non la riempirebbero.

Ma in questo momento, insisto, fissiamo la nostra attenzione soltanto ai punti “etichettati”, quelli, ribadiamolo, che corrispondono ad un numero razionale… essi costituiscono una famiglia non facile da immaginare nei dettagli, perché, contrariamente a quanto accade per l’insieme Z dei numeri interi,  fra due numeri razionali fissati qualsiasi ce ne sono sempre infiniti altri (basti pensare che fra m/n e p/q c’è sempre la media (m/n+p/q)/2, che è ancora un numero razionale); cosicché, preso un numero razionale, non esiste né il suo “precedente” né il suo “successivo” …

Armiamoci ora di FORBICE (mentale) perché in questo “festone” di infiniti punti ad ascissa razionale andremo a praticare una SEZIONE !!! Una sezione dopo la quale i numeri razionali risulteranno suddivisi in due sottofamiglie: da sottofamiglia D di quelli che si trovano a sinistra del “taglio”, e la sottofamiglia E di quelli che si trovano a destra del “taglio”.

ZAC!!!

Il “taglio” è fatto.

I numeri razionali sono stati suddivisi in due sottofamiglie:

chi non è “di qua”, è “di là”: non c’è altra alternativa.

Può essersi verificata una e una sola fra le tre eventualità seguenti:

ü       Fra i punti che stanno a destra del taglio (=quelli della sottofamiglia E), ce n’è uno che precede tutti gli altri (esempio 3:  

Osserviamo che in questo caso, nella sottofamiglia D non potrà esserci un punto che segue tutti gli altri, altrimenti questo sarebbe il “precedente” del primo punto della famiglia E … ma non esistono due numeri razionali consecutivi!

Diremo che la “sezione”, il “taglio”, ha “individuato” un numero razionale (il minimo dell’insieme E)

ü       Fra i punti che stanno a sinistra del taglio (=quelli della sottofamiglia D), ce n’è uno che segue tutti gli altri (Esempio 2:  

Osserviamo che in questo caso, nella sottofamiglia E non potrà esserci un punto che precede tutti gli altri, altrimenti questo sarebbe il “consecutivo” dell’ultimo punto della famiglia D … ma non esistono due numeri razionali consecutivi!

Diremo che la “sezione”, il “taglio”, ha “individuato” un numero razionale (il massimo dell’insieme D)

ü       Fra i punti che stanno a destra del taglio (=quelli della sottofamiglia E), NON ce n’é alcuno che preceda tutti gli altri (insomma, la famiglia E non ha minimo), e fra i punti che stanno a sinistra del taglio (=quelli della sottofamiglia D), NON ce n’é alcuno che segua tutti gli altri  (insomma, la famiglia D non ha massimo).

Diremo che la “sezione”, il “taglio”, ha “individuato” un numero irrazionale

(la “lacuna” che separa gli elementi dell’insieme D da quelli dell’insieme E)

Questo è il caso illustrato nell’Esempio 1: