17.  Confronto fra numeri reali; operazioni coi numeri reali.

 

Una volta definiti i numeri reali (numero reale = sezione in Q), si introduce un criterio di confronto fra due numeri reali, vale a dire, una definizione che permetta di decidere, dati due numeri reali  e , se si possa conviene che sia , oppure  , oppure .

Non entriamo nei particolari; diciamo solo che ci si riconduce ad un confronto fra i numeri razionali che compongono le sezioni in Q, le quali individuano i due numeri reali considerati.

Quindi: il criterio di confronto fra due numeri reali, viene definito a partire dal criterio (già definito precedentemente) per il confronto fra numeri razionali.

 

La teoria dei numeri reali prosegue poi con la definizione delle operazioni coi numeri reali.

 

Diamo solo un cenno su questo argomento, facendo vedere come viene definita l'operazione di addizione.

 

Siano  due numeri reali. Indichiamo con  C1 l'insieme dei numeri razionali, che si possono ottenere come somma di un numero preso da  A1 con un numero preso da B1. Analogamente, indichiamo con C2 l'insieme dei numeri razionali, ottenibili sommando un numero preso da A2 con un numero preso da B2.   Per brevità, con ardita notazione, usiamo il simbolo A1+B1 per indicare l'insieme C1 ed il simbolo A2+B2 per indicare C2. Si può dimostrare che (A1+B1 , A2+B2) è una sezione in Q. Definizione. - Si dice "somma" dei due numeri reali  e , e si indica con , il numero reale individuato dalla sezione

 

Dopo aver definito le altre operazioni, si dimostra che:

 

a)       Le "nuove operazioni" in R "si identificano" con le "analoghe vecchie operazioni" in Q, nel senso che, se prendiamo due numeri reali che siano razionali (  = [m/n],   = [p/q] ), l'operazione di somma effettuata secondo la definizione data sopra produce come risultato quel numero reale, che si identifica col numero razionale ottenuto tramite la "vecchia" operazione [(mq+np)/nq];

e lo stesso avviene per le altre operazioni.

Per questo motivo, si potrà dire che l'addizione, la sottrazione ecc. in R sono "estensioni" all'insieme R delle omonime operazioni già definite in Q.

 

b)       Le proprietà valide per le operazioni in Q si conservano tutte quando si passa alle estensioni delle medesime operazioni all’insieme R.

 

c)       (R, +,  )  è un campo.