18.  UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI "NUMERO REALE": LE “COPPIE DI CLASSI CONTIGUE”.

 

Fino alla seconda metà del XIX secolo, i Matematici avevano trafficato coi numeri razionali ed irrazionali, senza aver ancora elaborato una definizione rigorosa di "numero reale".

Questa lacuna fu colmata da studiosi come Dedekind (cui si deve la "teoria delle sezioni in Q" che si è sommariamente presentata sopra, pubblicata nel 1872), Weierstrass, Méray, Heine, Cantor, Russell...,  e in Italia Capelli, Cipolla, Peano, Soschino...

Le varie teorie differiscono più nella scelta dell'impostazione iniziale che nella sostanza.

Una definizione del concetto di numero reale, alternativa a quella basata sulle sezioni di Dedekind, è fondata sul concetto di "classi contigue di numeri razionali".

Eccone qui di seguito un'esposizione per sommi capi.

 

Dunque:

Siano D, E due insiemi non vuoti di numeri razionali  con le seguenti caratteristiche:

 

1)       ciascun numero dell'insieme D è minore di ciascun numero dell'insieme E;

2)       i numeri di D sono "indefinitamente ravvicinati" rispetto ai numeri di E, nel senso che possiamo trovare coppie di numeri, uno preso da D e l'altro preso da E, "vicini quanto noi vogliamo":

 

Allora la coppia (D, E) si dice "coppia di classi contigue in Q". Esempio:

 

Osservazione: Notiamo per inciso che ogni "sezione in Q" è anche una "coppia di classi contigue in Q", mentre non vale il viceversa.

 

Definizione (provvisoria): Si dice "numero reale" una coppia (D, E) di classi contigue in Q

(o, se si preferisce: quell'entità astratta che è individuata da una coppia di classi contigue in Q).

 

Se esiste un numero razionale r che sia  di tutti gli elementi di D, e  di tutti gli elementi di E (NOTA), allora identificheremo il numero reale (D, E) col numero razionale r; altrimenti, diremo che il numero reale (D, E) è "irrazionale".

NOTA. - in questo caso, è facile dimostrare che il numero razionale r in questione è unico.

 

La definizione data va però perfezionata.

Consideriamo infatti il seguente esempio:

 

 

E' evidente che le due coppie (D, E) e (D', E') andranno in questo caso considerate "equivalenti": è infatti del tutto spontaneo convenire che definiscano lo stesso numero reale.

 

Possiamo dare un'opportuna definizione di equivalenza fra coppie di classi contigue nel modo seguente:

se (A, B) e (C, D) sono due coppie di classi contigue in Q, allora

(A,B) E   (C,D)  

Si può dimostrare che la relazione E  così definita è di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva).

 

A questo punto modifichiamo la definizione di cui sopra come segue:

Definizione: Si dice "numero reale" l’entità astratta definita da tutte le coppie (D, E) di classi contigue in Q, che sono equivalenti ad una coppia fissata.

 

Il numero reale individuato da una coppia di classi contigue di razionali (D,E)  e che potrebbe essere individuato altrettanto bene da una qualsiasi altra coppia (C,D) equivalente alla prima -  viene chiamato

l’ “ELEMENTO SEPARATORE” delle due classi.

 

E' evidente che questa teoria basata sulle "coppie di classi contigue in Q" si presenta più complicata di quella basata sulle "sezioni in Q"; tuttavia, in certi contesti si rivela vantaggiosa rispetto ad essa.

Anche in questa teoria alternativa imperniata sulle "coppie di classi contigue in Q", il passo successivo è di fissare un "criterio di confronto" fra due numeri reali, e poi di stabilire le definizioni di operazioni con numeri reali: la trattazione finisce per assomigliare molto a quella che si segue se si sceglie l'impostazione con le "sezioni in Q".