19. Dalle “classi contigue in Q” alle “classi contigue in R”
Dunque, per definizione, una "coppia di classi contigue in Q" individua (insieme alle altre coppie equivalenti ad essa) un numero reale.
Ma, a posteriori, dopo aver fissato il "criterio di confronto", si può poi dimostrare che anche una coppia di classi contigue in R individua un numero reale, nel senso che, se (A, B) è una coppia di classi contigue di numeri reali (cioè: ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B; inoltre, le classi A, B sono "indefinitamente ravvicinate"), allora esiste uno e un solo numero reale che sia maggiore o uguale di tutti gli elementi di A, e minore o uguale di tutti gli elementi di B.
Questa osservazione va tenuta presente in tutte quelle occasioni (e la circostanza si presenta abbastanza frequentemente in matematica) in cui un numero reale viene definito attraverso due famiglie di numeri reali che lo approssimano, rispettivamente, per difetto e per eccesso.
Facciamo solo uno dei tanti possibili esempi:
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Data una circonferenza, se indichiamo con A l’insieme dei numeri reali che misurano i perimetri dei poligoni regolari inscritti, e con B l’insieme dei numeri reali che misurano i perimetri dei poligoni regolari circoscritti, è intuitivo (e dimostrabile) che i due insiemi A, B costituiscono una coppia di classi contigue di numeri reali. E dunque, per quanto sopra, (A,B)
definisce un numero reale
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