2. DEFINIZIONE DI “NUMERO NATURALE”

 

Definizione

Una corrispondenza fra due insiemi X e Y che sia del tipo asole-bottoni, cioè: tale che ad ogni elemento di X corrisponde uno ed un solo elemento di Y, e viceversa, si dice "corrispondenza biunivoca" (o "corrispondenza uno-a-uno").

 

Definizione

Si dice "numero cardinale" quel qualcosa, quell'entità astratta, quel "quid", che hanno in comune tutti gli insiemi che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con un insieme dato.

 

ü        Per indicare che l'insieme A definisce il numero cardinale a, scriveremo  card(A) = a

(leggi: "il numero cardinale dell'insieme A è a", o anche: "la cardinalità dell'insieme A è a").

 

ü        Se  due insiemi A, B possono essere posti in corrispondenza biunivoca, diremo che “individuano lo stesso numero cardinale” o che “sono due ’rappresentanti’ del medesimo numero cardinale”.

 

Definizione

Si dice "numero naturale" il numero cardinale di un insieme finito (NOTA 1)

 

 

NOTA 1. -  Occorre dunque una definizione di insieme "finito" che non faccia riferimento al concetto di "numero" o all'operazione del "contare", altrimenti cadremmo in un circolo vizioso.

Già Galileo osservò che, sorprendentemente, l'insieme degli interi >0 può essere posto in corrispondenza biunivoca con l' insieme degli interi pari, che è un suo sottoinsieme “proprio”.

 

Questa proprietà apparentemente paradossale può essere impiegata per caratterizzare gli insiemi "infiniti" rispetto a quelli "finiti". Dunque:

 

Definizione (insiemi finiti e infiniti):

Un insieme si dice

·         "infinito" se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio;

·         "finito" in caso contrario.

 

Uno studio "rivoluzionario" di queste questioni fu condotto dal matematico Georg Cantor nella seconda metà dell’Ottocento.

Ci si potrebbe aspettare che, dati due insiemi entrambi infiniti, questi si possano sempre mettere in corrispondenza biunivoca: cioè, che tutti gli insiemi infiniti esprimano un unico numero cardinale. Cantor scoprì che questa congettura è falsa, perché esistono invece diversi "gradi" di infinito: dati due insiemi A, B entrambi infiniti, può accadere che, ad esempio, A possa essere posto in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme proprio di B, ma non con B.

In tal caso, i numeri cardinali di  A e di B non coincidono; diremo che  card(A) < card(B).

 

Indicheremo con N l'insieme dei numeri naturali.

 

Dalle definizioni poste, il concetto di "numero naturale" è ricondotto a quello, semplicissimo, di

"corrispondenza biunivoca".

 

Definizione (confronto di due numeri naturali)

Dati due numeri naturali m, n, si dice che m è minore di n, e si scrive m<n, se esistono due insiemi A e B tali che:

card(A) = m,  card (B) = n,  e      (ricordiamo che il simbolo  indica "inclusione stretta").

Si può dimostrare che se  m<n,  allora non può essere, contemporaneamente, m=n e neppure  n<m.

 

Definizione:  Si dice "somma" di due numeri naturali m, n, e si indica con m+n, il numero naturale dell'insieme A U B, essendo A, B due insiemi disgiunti di cardinalità m, n rispettivamente.

Si può dimostrare che la definizione data è corretta, cioè che il valore di m+n non dipende dai particolari insiemi scelti per rappresentare m ed n (NOTA 2).

NOTA 2. - Per la correttezza della definizione occorrerebbe anche dimostrare che l'unione di due insiemi finiti è sempre un insieme finito. Omettiamo questa dimostrazione.

 

Definizione: Si dice "prodotto" di due numeri naturali m, n, e si indica con
, il numero naturale dell'insieme       A X B (NOTA), essendo A, B due insiemi di cardinalità m, n rispettivamente.
Si può dimostrare che la definizione data è corretta.

NOTA: A X B = “prodotto cartesiano di A per B” =  

Sottrazione e divisione vengono definite come operazioni inverse della somma e del prodotto rispettivamente; tuttavia, queste operazioni non sempre ammettono risultato nell'insieme N:

·          Definizione

Viene definito "differenza" fra due numeri naturali a, b, e si indica con a - b,

quel numero naturale x (se esiste), tale che   x + b = a

·          Definizione

Viene definito "quoziente" fra due numeri naturali a, b (con b diverso da 0), e si indica con a : b,

quel numero naturale x (se esiste), tale che   x  b = a

 

Definizione

Si può dimostrare che, dati due numeri naturali a, b (con b diverso da 0), esistono sempre (e sono unici) i due numeri naturali q, r  tali che

a = q  b + r   ed   r<b.

Tali due numeri naturali q, r vengono detti rispettivamente "quoziente" e "resto" della "divisione intera" (o "divisione aritmetica") di a per b.  In linguaggio Pascal, q si può ottenere con l’operazione  “a DIV b “  ed r con   “a MOD b”.

 

Per uno studio delle proprietà dell'insieme N, condotto coi metodi avanzati della logica matematica moderna, alla definizione data sopra è preferibile sostituire una caratterizzazione di N (con le operazioni di somma e prodotto), tramite il seguente sistema di assiomi

("assiomi di Peano", dal nome del grande matematico italiano che visse dal 1858 al 1932):

 

1)       0 è un numero naturale.

2)       Ad ogni numero naturale x corrisponde uno e un solo numero naturale x', detto "il successore" di x,

in modo che:

  • se i successori di due numeri naturali sono uguali, anche i numeri naturali di partenza sono uguali;
  • 0 non è il successore di alcun numero naturale.

3)       SE una proprietà P(x), il cui insieme ambiente sia N:

  • vale per il numero 0,
  • e, nel caso valga per un numero naturale x, vale certamente anche per il successore x',

ALLORA quella proprietà vale per ogni numero naturale (Principio di induzione matematica).

4)       x+0=x per ogni numero naturale x

5)       x+(y' )=(x+y)'  per ogni coppia di numeri naturali x, y

6)       x  0 = 0   per ogni numero naturale x

7)       x  (y' ) = (x  y)+x  per ogni coppia di numeri naturali x, y

 

Applichiamo il Principio di induzione matematica

Esso può servire a dimostrare la validità, su tutto N, di molte interessanti proprietà.

Per dimostrare, applicando tale Principio, che una data proprietà P(x) vale per ogni x appartenente ad N,

si procede nel modo seguente:

a)      si verifica che la proprietà P(x) vale con x=0;

b)      si suppone, come ipotesi di lavoro, che la proprietà valga con x=k, e si dimostra che,

sotto questa ipotesi, la proprietà deve necessariamente valere anche con x=k+1.

a) e b) garantiscono, per il Principio di induzione matematica, che la proprietà P(x) vale su tutto N.

 

Tre esercizi.   Dimostrare, mediante il Principio di Induzione matematica (o la sua ovvia variante consistente   

                       nel “partire da 1” anziché “partire da 0”,  che

 

 

TEOREMI. - Sia con l'impostazione delle "corrispondenze biunivoche", sia con l'impostazione di Peano, è poi possibile dimostrare quei teoremi che esprimono le proprietà delle operazioni coi numeri naturali. Ad esempio:

 

·          per ogni coppia di numeri naturali a, b,                        a+b=b+a

·          per ogni terna di numeri naturali a, b, c,                       (a+b)+c = a+(b+c)

·          per ogni coppia di numeri naturali a, b,                        a  b = b  a

·          per ogni terna di numeri naturali a, b, c,                       a   (b+c) = a  b + a  c

·          ecc. ecc. ecc. (le proprietà delle quattro operazioni sono tante!)

 

Come è ben comprensibile, i procedimenti dimostrativi saranno profondamente diversi a seconda che si adotti l'una o l'altra impostazione.