Come abbiamo già accennato, fino alla seconda metà dell'800
i matematici avevano utilizzato i numeri irrazionali senza però che fosse mai
stata elaborata una definizione precisa di numero irrazionale (se non la definizione
"in negativo", che però non è una "vera" definizione,
secondo cui i numeri irrazionali sono "quei numeri che non sono
esprimibili sotto forma di frazione, cioè di rapporto fra due interi, il
secondo dei quali non nullo").
Fu soltanto intorno all'anno 1872 che, grazie al contributo
di studiosi fra i quali citiamo specialmente Dedekind (1831-1916), Cantor
(1845-1918) e Weierstrass (1815-1897), si pervenne a una definizione rigorosa
di "numero reale", anzi a più definizioni alternative in qualche modo
tutte connesse fra loro.
Questo lavoro di sistemazione teorica si inserì nell'ambito
di un generale interesse del mondo matematico ad una rielaborazione critica
delle "idee base", dei "fondamenti della Matematica", che
caratterizzò l'ultima parte del secolo XIX l'inizio del XX.
E'
importante sottolineare che le varie definizioni di "numero reale",
fra cui quella basata sulle "sezioni" e quella che si ispirava alle
"classi contigue", pur essendo in qualche modo suggerite da
riflessioni di carattere geometrico, si svincolavano però completamente dalla
geometria.
E, in
questo, realizzavano un obiettivo ben preciso: quello, appunto, di sciogliere
il concetto di numero reale da qualsiasi dipendenza obbligata dall'intuizione
geometrica.
Finalmente
tale concetto veniva ridotto a puro concetto "aritmetico":
esso
veniva definito a partire dall'insieme Q dei numeri razionali, e anche le operazioni
coi numeri reali venivano ricondotte ad operazioni in Q; così come Q, a sua
volta, era definito utilizzando N; e lo studio di N veniva ricondotto allo
studio delle corrispondenze biunivoche, o, in alternativa, allo studio dei
teoremi derivabili dagli assiomi di Peano).
La
connessione fra la retta geometrica e l'insieme R, definito in termini
puramente aritmetici, viene "recuperata" ammettendo come postulato
uno qualsiasi degli enunciati seguenti, tutti equivalenti fra loro (nel senso
che due qualsiasi di essi si biimplicano):
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1)
"Una retta è un insieme di punti 'continuo'. [Si dice 'continuo' un insieme ordinato, denso, avente la
proprietà che, presa una qualunque sua partizione in due classi separate (= tali
che ogni punto della prima
classe preceda ogni punto della
seconda), accade sempre che la prima classe abbia un massimo oppure (nel
senso di aut) che la seconda abbia un minimo] ". 2)
"I punti di una retta possono essere messi in
corrispondenza biunivoca coi numeri reali (in modo che, se per due numeri reali a, b si ha a<b, l'immagine A di
a preceda - in un verso prefissato -
l'immagine B di b)" 3)
"Se, su di una retta orientata di origine O su cui sia stato fissato un
segmento u come unità di misura, si considerano infiniti segmenti OA1,
OA2, OA3, ..., OB1, OB2, OB3,
tutti commensurabili con u (o,
il che è lo stesso: con la condizione che il
secondo estremo abbia ascissa
razionale), tali che ogni A sia più a sinistra di ciascun B, e tali che,
comunque piccolo si prenda il
segmento s, si possa sempre trovare una coppia (OAi, OBk)
tale che AiBk<s, allora esiste uno e un solo
punto P, sulla semiretta, che si trovi a destra di tutti gli A e a sinistra
di tutti i B (fatta al più eccezione
per uno solo di questi punti, che può coincidere con P)." 4)
Lo stesso enunciato precedente togliendo la condizione che
i segmenti siano commensurabili con u,
ossia che le ascisse dei secondi estremi siano razionali. In altre parole: "Prese su di una retta orientata due classi
(=insiemi) di punti che siano: ·
"separate"
(=ogni punto della prima classe precede ogni punto della seconda classe) ·
e "contigue" (=esistono coppie di punti, uno
preso dalla prima classe e l'altro
preso dalla seconda, "vicini quanto si
vuole"), allora esiste uno e un solo punto P che stia "in
mezzo" fra i punti della prima classe e quelli della seconda classe (nel senso che P non precede nessun punto della prima
classe, e non segue nessun punto della seconda classe). 5)
"Data sulla retta una successione di intervalli
"incapsulati" (= ognuno contenuto nel precedente), i cui estremi
abbiano ascissa razionale e la cui ampiezza
tenda a zero (cioè: diventi piccola a piacere), esiste uno e un solo
punto della retta che è contenuto in tutti gli intervalli". 6)
Lo stesso enunciato precedente togliendo la condizione che
gli estremi degli intervalli abbiano ascisse razionali. Ognuno
di questi enunciati equivalenti prende il nome di "postulato
(o assioma) di continuità della retta" (Cantor-Dedekind) [In
particolare, la forma 1) è generalmente attribuita a Dedekind, le forme 3)
... 6) a Cantor] |