3. PRENDIAMO CONFIDENZA COL CONCETTO DI “NUMERO RAZIONALE”

 

La necessità di "ripartire m oggetti in n gruppi ciascuno con lo stesso numero di oggetti" si presenta frequentemente in Matematica.

Il semplice problema di distribuire equamente 28 mele fra 7 bambini si risolve mediante una DIVISIONE, la 28:7=4. Il numero 4 esprime la quantità di mele che tocca ad ogni bambino. Se ora si prende la quantità di mele data a ogni bambino (4 mele),  e la si moltiplica per il numero dei bambini (7), si riottiene il numero totale delle mele (28). Proprio questo desideravamo, ai fini di una “ripartizione equa”: di determinare quel numero di mele che, moltiplicato per il numero dei bambini, desse come risultato il numero totale di mele a disposizione.

 

Avendo, invece, 12 mele e 8 bambini, la divisione 12:8 (cioè: la ricerca di un numero che moltiplicato per 8 dia 12) non ha risultato nell'insieme dei numeri naturali.

Si esce dall’ “impasse” con l’idea seguente:

lasciamo indicata l'operazione 12:8 (magari, per comodità, scrivendola come 12/8) e diciamo: il risultato di questa operazione non è un numero naturale; è una nuova entità numerica, che si colloca al di fuori dell'insieme dei numeri naturali.

 

COS’E’ UNA “FRAZIONE” Il quoziente indicato fra due numeri interi (il secondo dei quali diverso da zero) si dice "frazione". Una frazione è un simbolo per indicare un'entità numerica che non è, di solito, un numero intero.

 

L' entità numerica che viene indicata col simbolo 12/8, potrebbe essere indicata, indifferentemente, anche col simbolo 30/20, dato che, quando si distribuiscono 12 mele a 8 bambini, e quando si distribuiscono 30 mele a 20 bambini, in entrambi i casi ciascun bambino riceve la stessa quantità di mele (una mela intera, più uno dei due pezzi di un’altra mela, tagliata in due parti uguali).

Altri modi di indicare la stessa entità numerica potrebbero essere:

3/2; 6/4; 9/6; 15/10; 18/12; 21/14; ecc. ecc.

Ricapitolando:

i simboli 3/2, 6/4, 9/6, 12/8, 15/10, 18/12, 21/14, 24/16, 27/18, 30/20, ecc. sono tutti modi equivalenti per esprimere lo stesso numero.

 

COS’E’ UN “NUMERO RAZIONALE” Un numero esprimibile sotto forma di frazione (cioè, sotto forma di "rapporto fra due numeri interi") viene chiamato "NUMERO RAZIONALE" (dal latino "ratio", fra i cui significati c’è anche quello di "rapporto, quoziente").

 

Ma allora, in definitiva, che differenza c'è fra "frazione" e "numero razionale"?

Diciamo che una frazione è un "simbolo", e più frazioni equivalenti sono simboli equivalenti per esprimere uno stesso numero razionale.

In altre parole: tutte le infinite frazioni

3/2, 6/4, 9/6, 12/8, 15/10, 18/12, 21/14, 24/16, 27/18, 30/20, ecc.

"hanno in comune un qualche cosa": insomma, "confrontando", "rapportando", il numero 3 col numero 2, si ottiene "la stessa cosa", "la stessa entità astratta", che si otterrebbe rapportando il numero 6 col numero 4, o il numero 9 col numero 6, ecc. ecc.

 

Quel "qualcosa", quel "quid", che è comune a tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data, viene detto "numero razionale". Ciascuna delle infinite frazioni equivalenti considerate è "una “rappresentante" di questa "entità" astratta chiamata il "numero razionale".

 

 

Vediamola anche così:

l'insieme delle frazioni  può essere suddiviso in "classi di equivalenza".

Date due frazioni m/n e p/q, diciamo che sono "equivalenti" se risulta

m  q = n  p (osserviamo che in questo modo, ci stiamo riconducendo un confronto fra due numeri naturali, ossia a una nozione già acquisita).

 

Ciascuna classe di frazioni equivalenti (=ciascun insieme di frazioni, tutte equivalenti fra loro) si dice "numero razionale"; o, meglio, si dice "numero razionale" quel "qualcosa" che è comune a tutte le frazioni appartenenti ad una stessa classe di equivalenza.

 

Consideriamo ora le seguenti uguaglianze:

 

4/1 = 4;    15/5 = 3;    0/7 = 0;    3 = 18/6;    25 = 25/1;    n = n/1

 

Esse ci dicono che i numeri naturali possono essere scritti sotto forma di frazione; quindi, che i numeri naturali sono particolari numeri razionali.

 

Insomma, l'insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri razionali. Quest'ultimo viene di solito indicato con , dove la Q proviene dall'inglese "quotient" = quoziente, e l’indice a segnala che intendiamo riferirci ai razionali “assoluti”, ossia “senza segno” (il passaggio, poi, ai razionali relativi, sarà del tutto ovvio, come il passaggio dai naturali agli interi relativi).

 

La situazione dal punto di vista insiemistico è perciò la seguente: