4. DEFINIZIONE DI “NUMERO RAZIONALE”

 

Definizione

Si dice "frazione" una coppia ordinata di numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0; ossia, un elemento di N X N*.

 

Nell'insieme N X N* delle frazioni, definiamo la seguente relazione:

 

(m, n) R  (p, q)    mq = np

 

E' facile dimostrare che R  è di equivalenza (riflessiva, simmetrica e transitiva).

ü        E' consuetudine scrivere m/n anzichè (m, n). D'ora in poi adotteremo quasi sempre tale convenzione.

 

Definizione

Si dice "numero razionale" l'insieme di tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data (se si preferisce:    si dice "numero razionale" l'entità astratta comune a tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data).

Un numero razionale si indica ponendo entro parentesi quadre una qualsiasi delle infinite frazioni che possono “rappresentare” il numero razionale in questione.

 

[4/6] = {2/3, 4/6, 6/9, 8/12, 10/15, 12/18, ...}

[4/6] è un numero razionale. [4/6] = [2/3] = [20/30] = ...

 

ü        Nella pratica, è consuetudine scrivere semplicemente m/n anziché [m/n]. Ad esempio, la scrittura 1/5 potrà indicare, indifferentemente, la frazione 1/5 oppure il numero razionale [1/5]. Ma nel resto di questo paragrafo, per motivi di chiarezza, preferiremo rinunciare a questa comoda abbreviazione.

 

ü        In questo paragrafo si intende che stiamo parlando dei numeri razionali assoluti:

il loro insieme si indica con Qa. Con Q indicheremo invece, a partire dal paragrafo successivo, l'insieme dei numeri razionali relativi. (Tuttavia, quando è chiaro dal contesto, si può usare il simbolo Q in luogo di Qa ).

 

 

Così come il concetto di "numero razionale" è stato introdotto a partire da quello di "numero naturale",

 così le operazioni fra numeri razionali vengono definite utilizzando le operazioni

già precedentemente definite sull'insieme N;

lo stesso dicasi per il criterio di confronto fra due razionali.

 

Definizione (confronto in Qa)

Dati due numeri razionali a = [m/n] e  b = [p/q], si dice che  a<b se e solo se  mq<np.

Si può dimostrare che la definizione è corretta, cioè che l'esito del confronto non dipende dalle particolari due frazioni che si sono scelte per rappresentare a, b.

 

Definizione (somma in Qa)

Si dice "somma" dei due numeri razionali a, b rappresentati rispettivamente dalle frazioni (m, n)  e (p, q), il numero razionale c che è rappresentato dalla frazione (mq+np, nq).

Per indicare che c è la somma di a con b scriveremo c=a+b.

Si può dimostrare che la definizione è corretta, cioè che il valore di c non dipende dalle particolari due frazioni che si sono scelte per rappresentare a, b.

Brevemente, dunque:  si dice "somma" di due numeri razionali [m/n], [p/q] il numero razionale [(mq+np)/nq].

 

Definizione (prodotto in Qa)

Si dice "prodotto" di due numeri razionali [m/n], [p/q] il numero razionale [mp/nq].

Si può dimostrare che la definizione è corretta, cioè che il valore del risultato non dipende dalle particolari frazioni scelte per rappresentare gli operandi.

 

Sottrazione e divisione vengono poi definite come operazioni inverse, esattamente come era stato fatto nell'ambito dell'insieme N dei naturali.