5. L’identificazione dei numeri naturali con particolari numeri razionali.
Un numero naturale k viene "identificato" col numero razionale [k/1].
In questo modo, N risulta un sottoinsieme di Qa, o, da un'altro angolo visuale, Qa risulta essere un ampliamento di N.
Si constata che le "nuove operazioni" in Qa "sono compatibili" con le "omonime vecchie operazioni" in N, nel senso seguente.
Prendiamo due numeri naturali h e k, riguardiamoli come numeri razionali [h/1] e [k/1], ed effettuiamo su tali numeri razionali, ad esempio, l'operazione di somma definita come sopra (somma in Qa).
Otterremo come risultato il numero razionale [(hּ1 + 1ּk)/(1ּ1)] = [(h+k)/1] , che corrisponde al numero naturale h+k, ossia a quel numero naturale che avremmo ottenuto se avessimo sommato h e k, considerandoli come numeri dell'insieme N e perciò applicando la "vecchia" definizione per la somma in N.
Abbiamo fatto questo discorso prendendo la somma come operazione di riferimento, ma la stessa osservazione varrebbe anche per le altre operazioni.
In pratica: possiamo non solo far corrispondere, ma addirittura realmente “identificare” il numero naturale h col numero razionale [h/1], e allo stesso modo il numero naturale k col numero razionale [k/1], per il fatto che le operazioni con questi due numeri conducono allo “stesso” risultato sia se effettuate con le regole che vigono in N, sia se effettuate con le regole che sono proprie delle operazioni in Qa .
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Insistiamo ancora un attimo su questo tema. Indichiamo con QN l'insieme dei numeri razionali assoluti della forma [k/1], ossia di quei numeri razionali assoluti dei quali abbiamo detto che "si identificano" coi numeri naturali. Vediamo un po' più nel dettaglio come il buon matematico descrive, in termini rigorosi, tale "identificazione". Consideriamo la struttura (N, +, Evidentemente i due supporti, N e QN , possono essere posti in corrispondenza biunivoca (ad un elemento k dell'insieme N verrà fatto corrispondere l'elemento [k/1] di QN). Indicheremo, per fissare le idee, con f tale corrispondenza biunivoca; sarà dunque f(k)=[k/1]. Tale corrispondenza biunivoca, come abbiamo visto sopra, "conserva le operazioni di somma e prodotto", nel senso che alla somma (in N) di due elementi h, k di N corrisponde, nella biiezione f, quell'elemento di QN che è il risultato dell'operazione di somma (in QN) dei corrispondenti [h/1] e [k/1]:
“la somma dei corrispondenti, coincide col corrispondente della somma”
E lo stesso avviene per il prodotto. Per questo motivo, si dice che la struttura (N, +, "Isomorfismo" è una parola di origine greca che significa "stessa forma". Un "isomorfismo" in Matematica è definito come una biiezione fra i supporti di due strutture algebriche, che "conserva" (nel senso specificato sopra) l'operazione o le operazioni "omonime" delle due strutture (NOTA) In definitiva: N non “è” esattamente un sottoinsieme di Qa, ma “è isomorfo a” un sottoinsieme di Qa, quindi “è come se fosse “ un sottoinsieme di Qa.
NOTA. E' chiaro che è possibile rinunciare alla richiesta della "omonimia" fra operazioni; basta solo che in ciascuna delle due strutture sia definito lo stesso numero di operazioni, dopodiché si specificherà, per ogni operazione della prima struttura, quale fra le operazioni della seconda struttura andrà presa come sua "corrispondente". Schematizzando (e considerando, per semplicità, due strutture con una sola operazione ciascuna): diciamo
che due strutture 1)
esiste una biiezione 2)
per ogni coppia di elementi x, y di A, si ha |
Ritornando all'insieme Qa visto come ampliamento di N, si può dimostrare che le operazioni sopra definite in Qa godono di tutte le proprietà di cui godevano le omonime operazioni in N.
ü In effetti, in Matematica, quando si procede ad un ampliamento di un insieme numerico, si considera soddisfacente la propria costruzione teorica solo se nell'insieme numerico più vasto le operazioni "estese" non perdono nessuna delle proprietà che caratterizzavano le operazioni "madri" nell’insieme di partenza.