6. NUMERI INTERI RELATIVI E RAZIONALI RELATIVI

La necessità di descrivere le "grandezze orientate" (temperature, anni prima e dopo Cristo, posizione altimetrica rispetto al livello del mare, guadagni e perdite di una ditta, ecc. ecc. per non parlare degli innumerevoli esempi nelle applicazioni, ad es. nella Fisica), oltre all'esigenza, strettamente interna alla matematica "pura", di rendere sempre possibile l'operazione di sottrazione, anche quando il sottraendo è maggiore del minuendo, portano a passare dall'insieme N dei numeri naturali all'insieme Z degli interi relativi, e dall'insieme Q_a dei razionali assoluti all'insieme Q dei razionali relativi.

Per non annoiare troppo, non starò ad elencare le definizioni e le considerazioni che stanno alla base di tali ampliamenti.

7. N, Z, Q COME “STRUTTURE ALGEBRICHE”

Coi vari ampliamenti di N, nessuna delle "vecchie" proprietà delle operazioni in N va persa; anzi, la struttura si fa più "ricca".

(N, +) e (N, • ) sono monoidi commutativi (NOTA)

(Z, +) è un gruppo commutativo; (Z, • ) è un monoide commutativo; (Z, +,• ) è un anello commutativo;

(Q, +, • ) è un campo

NOTA. - Ricordiamo le principali nozioni sulle strutture algebriche:

Definizioni:

ü Si dice SEMIGRUPPO una struttura algebrica (A, *) in cui l'operazione * è associativa.

ü Si dice MONOIDE una struttura algebrica (A, *) in cui l'operazione * è:

1) associativa 2) dotata di elemento neutro

ü Si dice GRUPPO una struttura algebrica (A, *) in cui l'operazione * è:

1) associativa 2) dotata di elemento neutro 3) tale che ogni elemento del supporto ammetta il proprio "elemento simmetrico".

ü Un GRUPPO COMMUTATIVO viene anche detto GRUPPO ABELIANO.

Teoremi:

· se un'operazione ammette elemento neutro, questo è unico;

· se un'operazione è associativa, allora, nel caso che un elemento del supporto ammetta il proprio elemento simmetrico, questo è unico

· Teorema generale di associatività:

se un'operazione è associativa, allora gode della cosiddetta "proprietà associativa generalizzata"

· Teorema generale di commutatività:

se un'operazione è commutativa e associativa, allora gode della cosiddetta "proprietà commutativa generalizzata"

Convenzioni:

- Quando un'operazione è indicata con "notazione additiva" (ossia: col segno +), l'eventuale elemento neutro viene chiamato "lo zero" della struttura, e indicato col simbolo 0_A; inoltre, il simmetrico (se esiste) di un elemento x, viene detto "l'opposto di x" e indicato col simbolo -x.

- Quando un'operazione è indicata con "notazione moltiplicativa" (ossia: col segno • ), l'eventuale elemento neutro viene chiamato " l'unità " della struttura, e indicato col simbolo 1_A; inoltre, il simmetrico (se esiste) di un elemento x, viene detto " il reciproco " o anche " l'inverso " di x e indicato col simbolo x^-1

Definizioni:

ü Si dice ANELLO una struttura algebrica (A, +, • ) in cui

1. (A, +) è un gruppo commutativo;

2. • è associativa

3. • è distributiva rispetto a +

ü Si dice CAMPO una struttura algebrica (A, +, • ) in cui:

1. (A, + , • ) è un anello;

2. (A-{0_A}, • ) è un gruppo commutativo

Teoremi:

· in un anello, il neutro additivo O_A fa da elemento assorbente moltiplicativo (si parla di "nullificatore")

· in un anello dotato di neutro moltiplicativo 1_A, il neutro additivo 0_A e il neutro moltiplicativo 1_A non possono coincidere (a meno che il supporto si riduca ad un solo elemento)

· in un campo, vale la "legge di annullamento del prodotto", che può non valere in un anello;

· in un campo, il neutro additivo non ha mai simmetrico moltiplicativo (a meno che il supporto si riduca ad un solo elemento).