9. Una proprietà dei numeri razionali: la “densità”

 

L’insieme dei numeri razionali possiede una proprietà interessante: fra due numeri razionali qualsiasi, anche vicinissimi, ci sono sempre infiniti altri numeri razionali. Per questo motivo si dice che l’insieme Q è “denso”.

 

Dimostrazione

Dico che, presi due numeri razionali  e  (supponiamo, per fissare le idee,  ),

la loro semisomma (detta anche “media aritmetica” o semplicemente “media”), ossia il numero  

a)       è ancora un numero razionale

b)       ed è compresa fra i due numeri razionali di partenza

 

a) 

 che, essendo un rapporto di due interi, è un numero razionale

 

b)

Essendo ,  posto    avremo  e dunque

 

Ma è evidentemente

 

 

 

Fin qui abbiamo dimostrato che, dati due numeri razionali r ed s qualsiasi, esiste sempre compreso fra di essi almeno un altro numero razionale (la loro semisomma, o “media aritmetica”, che indicheremo con m₁):

 

 

Ma ora, detta m₂ la media tra r ed m₁, avremo

 

e detta m₃ la media tra r ed m₂, avremo

 

ecc. ecc. ecc.

Quindi tra r ed s sono compresi infiniti altri numeri razionali.

 

Anche l’insieme dei numeri irrazionali, che introdurremo tra poco, si dimostra essere denso, mentre gli insiemi N dei numeri naturali e Z dei numeri interi relativi NON sono, evidentemente, densi.