DERIVATE, PARTE A: definizione, derivate fondamentali

 

1.   DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA

 

Consideriamo la funzione , e studiamola per tracciarne il “grafico probabile”.

 

1)       il dominio è tutto R

2)        

 

3)        

4)        

 

Dal “grafico probabile” si desume la presenza di un punto di minimo relativo, con ascissa compresa fra 0 e 1.

Sarebbe molto interessante riuscire a determinare in modo preciso le coordinate di questo punto.

Osserviamo che, nel punto di minimo, la retta tangente è orizzontale, quindi ha coefficiente angolare uguale a 0: perciò se noi riuscissimo a trovare una formula che, per ciascun valore di x, fornisca il coefficiente angolare della retta tangente alla nostra funzione nel punto di ascissa x, saremmo a posto, perché basterebbe uguagliare a 0 l’espressione trovata.

 

Affrontiamo questo problema dapprima dal punto di vista generale. Consideriamo (vedi figura qui a fianco) una funzione  y = f(x);  sia x un’ascissa fissata;

indichiamo con P il punto del grafico, di ascissa x.

 

La retta tangente in P è definita come la posizione limite

di una retta secante PQ (con Q punto sulla curva, distinto da P) quando il punto Q viene fatto tendere a P.

Indichiamo l’ascissa di Q con x+h

(essendo h un incremento che potrà essere positivo o anche negativo: si parla di incremento “algebrico”). Avremo:

 

  • coeff. ang. della secante PQ =

=  

  • coeff. ang. della tangente t  =  

La quantità

 viene detta “rapporto incrementale”

(relativo al punto x e all’incremento h)

e rappresenta il coefficiente angolare della secante PQ.

 

Il   , ammesso che esista finito,

viene detto derivata della funzione f nel punto x

e rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x.

 

La derivata si indica col simbolo .

 

 

 

RICAPITOLIAMO:

 

Sia  una funzione, e sia x un’ascissa fissata.

Sia poi h un incremento (positivo o negativo) per l’ascissa x.

 

Il rapporto

 

si dice “rapporto incrementale” della funzione f, relativo al punto x e all’incremento h.

Esso è uguale al coeff. ang. della retta secante che passa per i punti .

 

Il limite

 (ammesso che esista finito)

si dice “derivata“ della funzione f nel punto x, è indicato con il simbolo ,

ed è uguale al coeff. ang. della retta tangente al grafico della funzione nel punto .

 

Osserviamo che:

a)       Se il limite non esiste, si dice che “la f non è derivabile nel punto x”

b)       Se il limite esiste, ma è infinito, si dice ancora che “la f non è derivabile in x”,

ma contemporaneamente si dice anche che “la f ha in x derivata infinita”.

La contraddizione terminologica è evidente, ma è entrata nell’uso

(anche perché, effettivamente, adottarla comporta alcuni vantaggi).

 

Evidentemente,

q         il caso a) si verifica se e solo se il grafico della f non ammette retta tangente in P(x, f(x)),

q         mentre il caso b) si verifica se e solo se la posizione limite della retta secante PQ è verticale;       qui, tuttavia, la posizione limite della retta secante viene chiamata “retta tangente” soltanto qualora la funzione f sia continua nell’ascissa x.

 

 

 

 

Il coeff. ang. della retta tangente alla curva di equazione  nel punto x=5 vale dunque 4 !

 

Calcolare la derivata della funzione  nel generico punto di ascissa x.

 

 

NOTA: in esercizi di questo tipo, è IMPORTANTISSIMO tener presente che la quantità tendente a 0 è l'incremento h, mentre l'ascissa x è FISSA. Nel calcolo del limite, x va trattata come una costante, h come la variabile (tendente a 0).

 

In definitiva:       

Il coeff. ang. della retta tangente alla curva di equaz.  nel punto di ascissa x vale dunque 2x-6  !

Perciò, ad esempio, si avrà:   , ecc. ecc.

 

Dunque, si trattava di trovare l’ascissa nella quale la funzione  tocca il suo minimo relativo. Avevamo osservato che in corrispondenza del punto in questione doveva  annullarsi il coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione .

 

Calcoliamo l’espressione di tale coeff. ang. in corrispondenza della generica ascissa x, ossia calcoliamo la derivata :

 

 

Ora cerchiamo il valore di x per cui :

 

 

Delle due ascisse trovate, quella di minimo relativo è quella compresa fra 0 e 1, ossia x=2/3.

Perciò  

 

 

 

 

 

 

Abbiamo dunque dimostrato che la derivata della funzione  è uguale a  

(per esercizio, potresti ritrovare questo risultato, utilizzando una delle formule di prostaferesi anziché la formula di sottrazione per il seno).

 

Osserviamo che tale derivata  si annulla quando ,

insomma: quando   (multipli dispari di  )

Ma ciò va perfettamente d’accordo col fatto che pensando al grafico della funzione y=sen x, i punti in cui la tangente alla curva è orizzontale sono quelli in cui la funzione tocca il suo massimo oppure il suo minimo, ovvero i multipli dispari di .

Osserviamo inoltre che , il che significa che la sinusoide y =sen x attraversa l’origine

con inclinazione di coefficiente angolare 1, quindi di +45°.

 

Analogamente si ha:  con ovvia interpretazione in termini di inclinazione del grafico della y =sen x.