Teorema: se una funzione è derivabile in un punto, allora è continua in quel punto.

Schematicamente:  

(ho preferito usare qui il simbolo x₀ al posto di x per render meglio l’idea di un’ascissa fissata).

In dettaglio:

Ipotesi:   esiste finito il  

Tesi:       o, in alternativa,   

Dimostrazione

L’ipotesi è che esista finito il  

Poniamo dunque  

e avremo che  quando . Adesso possiamo scrivere:

Dall'ultima uguaglianza, passando al limite per , otteniamo:

 C.V.D.

OSSERVAZIONE IMPORTANTE:

il teorema non è invertibile, cioè non è vero che la continuità in un punto  implichi per forza la derivabilità in quel punto.

Due controesempi:

  è continua nell’origine ma non è ivi derivabile, perché “ha derivata infinita”;

 non è derivabile nel punto x=3 perché il rapporto increment. in x=3 tende a due limiti distinti a seconda che l’incremento tenda a  o a .

Insomma:

la continuità in un punto è condizione necessaria, ma non sufficiente, per la derivabilità in quel punto.