DERIVATA DI UNA FUNZIONE

DERIVATA UNILATERALE

Consideriamo la funzione

Avremo

Il grafico della funzione è costituito da due “archi di parabola che si tengono per mano”:

Nel passaggio dalla sinistra alla destra dell’ascissa x=1, cambia l’espressione analitica della funzione:

tale espressione è con , diventa invece con .

Il brusco cambiamento di espressione determina un altrettanto brusco cambiamento nell’inclinazione della curva. Si dice che il punto P, di ascissa 1, è un “punto angoloso”.

La curva, per via dell’ “angolosità”, non ammette retta tangente nel punto P(1,1) in cui si passa da un’espressione all’altra.

Potremmo però dire che, se consideriamo soltanto la parte del grafico che si trova “da P verso sinistra”, abbiamo una retta tangente in P con una certa inclinazione; se invece consideriamo soltanto la parte di grafico che va “da P verso destra”, avremo UN’ALTRA retta tangente con un’altra inclinazione.

Per questo motivo, nella figura abbiamo preferito disegnare solo due SEMIrette, la semiretta t₁ “tangente in P verso sinistra” e la semiretta t₂ “tangente in P verso destra”.

Quali saranno i coefficienti angolari di queste due semirette?

Per rispondere, osserviamo che t₁ può essere pensata come la posizione che una semiretta secante, con origine in P e passante per un altro punto Q del grafico, situato A SINISTRA di P, tende ad assumere quando Q viene fatto tendere a P; e analogamente, t₂ può essere pensata come la posizione limite di una semiretta secante PQ, con Q situato sul grafico, A DESTRA di P, e fatto tendere a P.

E’ allora evidente che il coefficiente angolare di t₁ (“semitangente in P verso sinistra”), potrà essere determinato calcolando il

mentre il coefficiente angolare di t₂ (“semitangente in P verso destra”), coinciderà col

Si parla, in casi come questo, di

“rapporto incrementale sinistro” e “derivata sinistra”,

“rapporto incrementale destro” e “derivata destra”.

In generale:

Sia data una funzione , e un punto x₀ nel quale la funzione sia definita e continua.

Si dice “rapporto incrementale sinistro” della f(x) in x₀, l’espressione

con h<0

Si dice “rapporto incrementale destro” della f(x) in x₀, l’espressione

con h>0

Se esiste finito il

, esso viene detto “derivata sinistra della f(x) in x₀“, e indicato con

Se esiste finito il

, esso viene detto “derivata destra della f(x) in x₀“, e indicato con

E’ conseguenza immediata della definizione di “derivata” il teorema seguente:

f(x) è derivabile in x₀ se e solo se ammette, in x₀, tanto la derivata sinistra quanto la derivata destra, e queste sono uguali fra loro:

Ritornando ora all’esempio da cui eravamo partiti:

avremo:

NOTA 1 Qui per il calcolo di f(1+h) utilizziamo l’espressione x²-x+1, che vale a sinistra dell’ascissa 1, perché, essendo h negativo, 1+h si trova appunto a sinistra di 1

NOTA 2 Qui per il calcolo di f(1+h) utilizziamo l’espressione x²+x-1, che vale a destra dell’ascissa 1, perché, essendo h positivo, 1+h si trova appunto a destra di 1

OSSERVAZIONE. A dire il vero, quando determineremo ed impareremo a memoria le regole per le derivate delle funzioni elementari, di fronte ad un problema di questo tipo, preferiremo comportarci in un modo diverso.

Ragioneremo così: la derivata sinistra coincide col coefficiente angolare che avrebbe, nell’ascissa 1, la retta tangente al grafico della funzione, se la funzione stessa mantenesse, anche a destra dell’ascissa 1, la medesima espressione analitica che è valida con , ossia … e discorso analogo per la derivata destra (vedi figura sottostante).

Quindi, in modo molto più rapido ed efficiente:

NOTA : quando avremo imparato la regola per la derivata di un polinomio, ci metteremo un decimo di secondo a ricavare: e

Altro esempio.

La funzione è definita per ; essa ha due comportamenti profondamente diversi a sinistra e a destra dell’ascissa 0. Infatti è

;

Da sinistra, la funzione “si tuffa” dunque nell’origine; ma secondo quale inclinazione avviene il “tuffo”?

Per rispondere a questa domanda, potremmo procedere come segue:

“completiamo per continuità” la definizione della funzione, ottenendo

La funzione F(x) è “figlia” della f(x), ma rispetto alla funzione “madre” ha, in più, la proprietà di essere definita nell’ascissa 0 e ivi CONTINUA A SINISTRA.

E’ evidente che l’inclinazione con cui la funzione madre f “si tuffa” nell’origine, provenendo dalla sinistra, è la stessa inclinazione con la quale fa lo stesso “tuffo” la funzione figlia F.

Calcoliamo quindi il rapporto incrementale SINISTRO della F(x) nell’ascissa 0, e cerchiamone poi il limite quando l’incremento h tende a 0; insomma, andiamo a calcolare la DERIVATA SINISTRA DELLA F(x). Dunque:

NOTA. Avevamo anticipato questo limite nel paragrafo sui “limiti notevoli”. Avevamo allora rimandato a tempi migliori la dimostrazione che tale limite è 0, avvertendo che essa avrebbe potuto essere effettuata facilmente con strumenti matematici che avremmo appreso successivamente. Tuttavia, dal punto di vista intuitivo, la rapidità con cui sappiamo tendere a zero l’esponenziale, al tendere dell’esponente a , ci permette di prevedere ampiamente questo risultato.

Pertanto, da tutto quanto visto si trae che la funzione si “tuffa” nell’origine, DA SINISTRA, con inclinazione uguale a 0 (tutt’altro che un tuffo “di testa” quindi ! ), come un grafico tracciato con software matematico potrebbe confermare.

OSSERVAZIONE: si poteva giungere alla stessa conclusione anche calcolando il

Ma su questo discorso ritorneremo quando, più avanti, tratteremo il “Criterio sufficiente di derivabilità”.