6. DERIVATE DELLE FUNZIONI FONDAMENTALI
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Dimostrazione
(costante)
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Dimostrazione
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Formula per la derivata di una potenza con esponente 2,3,4… (che si estenderà poi a qualsiasi esponente reale) |
Dimostrazione
NOTA 1: Si può dimostrare che vale, sia per n pari che per n dispari, la formula
NOTA 2:
perché entro la quadra abbiamo n addendi, ciascuno dei quali tende a
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Osserviamo che la validità della formula si può pensare estesa anche al caso n=1 che era stato trattato precedentemente in modo autonomo. E la formula “funziona” , volendo, anche nel caso n=0. Dimostreremo più avanti che la formula per la derivazione di una potenza è la stessa che abbiamo scritto sopra per qualsiasi esponente reale (positivo o negativo), cioè che
Ti suggerisco di fissare in mente fin d’ora questo risultato. |
- Per la dimostrazione della formula avremmo potuto anche utilizzare, al posto della scomposizione in fattori, lo sviluppo del “binomio di Newton”:
NOTA 3: perché entro parentesi
quadra tutti gli addendi, tranne il primo, contengono come fattore una potenza
di h con esponente positivo e quindi tendono a zero al tendere a zero di h.
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Dimostrazione:
Osserviamo che la formula appena stabilita “va d’accordo” con quella per la derivazione di una potenza con esponente intero ( e di cui abbiamo anticipato la validità per qualsiasi esponente reale).
Infatti, scrivendo come
,
se si applica formalmente la regola per la derivazione di una potenza,
stabilita nel caso che l’esponente fosse intero:
,
si ottiene
ossia il risultato corretto.
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da cui, in particolare, segue la formula di più frequente applicazione, ossia
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Dimostrazione
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da cui, in particolare, segue la formula di più frequente applicazione, ossia
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Dimostrazione
e poiché, al tendere di h a 0, , avremo