DERIVATA DI UNA FUNZIONE

DERIVATE, PARTE B: operazioni con funzioni derivabili

7. TEOREMI SULLE OPERAZIONI CON FUNZIONI DERIVABILI

Se due funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in uno stesso punto x, allora anche la loro somma f(x)+g(x) è una funzione derivabile in quel punto, e la derivata della funzione somma nel punto x è uguale alla somma delle derivate, nello stesso punto, delle funzioni addizionate. Brevemente:

La derivata della somma di due funz. derivabili esiste ed è uguale alla somma delle derivate”:

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

Dimostrazione

Esempio:

La derivata del prodotto di una costante per una funzione derivabile esiste ed è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione:

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

(se c è una costante ed f una funzione);

La dimostrazione, facilissima, è lasciata al lettore.

Esempio:

Conseguenza notevole dei teoremi 1) e 2):

La derivata di una combinazione lineare di funzioni è uguale alla combinazione lineare (ovviamente, con gli stessi coefficienti) delle derivate: ciò si può esprimere dicendo che

“LA DERIVATA E’ UN OPERATORE LINEARE”

In simboli:

Esempio :

Altro es. :

Conseguenze notevoli del teorema 1) e del fatto che la derivata di una costante è 0 sono le seguenti:

· Una costante additiva, nella derivazione, viene eliminata

· Se due funzioni differiscono per una costante additiva, allora hanno la stessa derivata

Se due funzioni f(x) e g(x) sono entrambe derivabili in uno stesso punto x, allora anche il loro prodotto f(x)g(x) è una funzione derivabile in quel punto, e la derivata di tale funzione prodotto nel punto x si ottiene applicando una regola particolare. Brevemente:

La derivata del prodotto di due funzioni derivabili esiste e si ottiene con la seguente regola:

Scioglilingua:

“derivata della prima per (=moltiplicato) la seconda, più la prima per la derivata della seconda”

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

;

Dimostrazione

NOTA

Quando facciamo tendere h a zero, siamo sicuri che perché abbiamo supposto che la funzione g sia derivabile in x, e un teorema noto ci assicura che se una funzione è derivabile in un punto, allora è anche continua in quel punto.

Ricordiamo la definizione di continuità di una funzione in un punto:

Esempio:

La derivata del prodotto di più funzioni derivabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascuna funzione per tutte le altre:

Dimostrazione:

Esempi vari:

q Esercizi (risposte alla fine):

I. Per quali valori di x la retta tangente al grafico della funzione y=x³-x² è inclinata di +45°?
II. Tracciare il grafico della funzione determinandone anche il punto di massimo.
III. Scrivere l’equaz. della retta tangente al grafico della funzione y=x⁴-5x-1 nel suo punto di ascissa 2. A tale scopo, tenere presente quanto detto nel riquadro sottostante:
IMPORTANTISSIMO: La Geometria Analitica insegna che l’equazione della retta di coefficiente angolare m, passante per (x₀,y₀) è: Ora, poiché la derivata di una funzione in un punto fornisce il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto, l’equazione della retta tangente al grafico di y = f(x) nel suo punto di ascissa x₀ è:
IV. Stabilire per quale valore del parametro a la curva grafico funzione ha, nel punto di ascissa 1, retta tangente orizzontale. Successivamente, stabilire la natura di questo punto: è di massimo relativo? di minimo rel. ? né l’uno né l’altro?
	Risposte agli esercizi:	il punto è di minimo

Se due funzioni f(x) e g(x) sono entrambe derivabili in uno stesso punto x, allora anche il loro quoziente f(x)/g(x) è una funzione derivabile in quel punto, e la derivata di tale funzione quoziente nel punto x si ottiene applicando una regola particolare. Brevemente:

La derivata del quoziente di due funzioni derivabili esiste e si ottiene con la seguente regola:

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

;

Dimostrazione:

NOTA. Anche in questo passaggio, come già nella dimostrazione del teorema sulla derivata di un prodotto, abbiamo utilizzato il fatto che la derivabilità di una funzione in un punto, implica la continuità della stessa funzione in quel punto.

Essendo, per ipotesi, g(x) derivabile nel punto x, la funzione g(x) sarà anche continua in x, per cui si avrà

· Esempio:

· Il seguente è un esempio notevole:

Pertanto

e analogamente si può dimostrare che

Derivata del reciproco di una funz. derivabile (e, naturalmente, non nulla nel punto considerato):

Dimostrazione

Per il precedente teorema sulla derivata del quoziente di due funzioni, avremo, considerando come quoziente fra la funzione costante 1 e la funzione f(x):

· Esempio:

q Bell’esercizio 1:

Considera la funzione