Dimostrazione del teorema sulla derivata di una funzione composta

 

Per capire meglio quali sono le diverse quantità in gioco, pensiamo all’esempio specifico della funzione

;

si parte da x, si passa attraverso un calcolo intermedio applicando a x la funzione “cubo” che fornisce il numero z=x³, infine si applica la funzione “seno” a questo numero z, ottenendo il valore finale y.

 

 

Siamo d’accordo con il ruolo dei simboli x, z, y? OK? Possiamo allora partire col caso generale.

 

Noi vogliamo costruire il rapporto incrementale della funzione composta y(x),

che è poi “y-che-dipende-da-z-che-dipende-da-x”, ossia ,

Dunque:

all’ascissa di partenza x corrisponde il valore z al quale corrisponde poi il valore y.

Se ora noi passiamo da x a , la quantità intermedia z subisce un incremento  che la porta al nuovo valore ; dopodiché, al valore , corrisponderà un determinato valore  :

 

 

Il rapporto incrementale della funzione composta   è  ;  ma si può scrivere

 

Ora facciamo tendere  a zero. Supponiamo che la funzione z sia derivabile in x: essa sarà allora certamente continua in x per un teorema ben noto e pertanto anche  tenderà a 0; dunque avremo (supponendo altresì che la funzione y sia derivabile in z):

   e    .

Resta perciò dimostrato che

, cioè la tesi.

 

C’è però un piccolo guaio.

Non sarebbe onesto affermare che questa dimostrazione è del tutto generale e completa: infatti essa non tiene conto del fatto che  si potrebbe eventualmente annullare!!! Sei d’accordo? Può anche capitare, per una funz. z=z(x), che, fissata un’ascissa x e dato a x un incremento , risulti tuttavia .

 

Caro lettore, se non sei particolarmente interessato ad approfondimenti, accontentati pure di quanto scritto sopra (che costituisce una dimostrazione del teorema nel caso, invero di gran lunga il più frequente, in cui esiste per lo meno un intorno di x nell’ambito del quale, qualunque sia l’incremento che si dà alla x, la quantità z(x) subisce sempre un incremento non nullo).

 

Se invece desideri la dimostrazione del tutto generale, prosegui la lettura.

 

 

Insieme con la dimostrazione generale, daremo anche l’enunciato astratto del teorema, che, se badi, fino a questo momento non abbiamo mai formulato, accontentandoci della descrizione “alla buona” iniziale (quella che aveva tanto angosciato Snoopy) e della rassegna di esempi.

 

Per una dimostrazione del tutto generale del teorema sulla derivazione delle funzioni composte, ritengo preferibile rendere più “mirata” la simbologia.

Dunque:

 

Teorema sulla derivazione di una funzione composta (=funzione di funzione)   Sia  definita su tutto un intorno di x0 e derivabile in x0. Sia y=f(z) definita su tutto un intorno di  e derivabile in z0. Allora la funzione composta  è derivabile in x0 e risulta

Essendo per ipotesi f(z) derivabile in z₀, si ha    

da cui (scrittura fuori dal segno di limite)

 

e quindi

(1)    

Bene!  Abbiamo quindi scritto la relazione (1), nella quale compaiono gli incrementi  della variabile z, calcolati rispetto al punto z_0.

La (1) è stata ricavata partendo da un rapporto incrementale con  a denominatore, per cui va pensata valida per ; tuttavia, è proprio il caso  la “pietra dello scandalo” che ci ha costretto a cercare una via alternativa per la dimostrazione. Ora, se, a posteriori, pensiamo alla (1) con , vediamo che essa, avendo il primo membro nullo e il secondo membro caratterizzato dalla presenza di un fattore nullo, continuerebbe ad esser valida se non fosse per il fatto che, in questo caso, la quantità , che era stata introdotta come differenza fra il rapporto incrementale e la derivata, non avrebbe significato. Ma noi possiamo attribuire a , nel caso , un valore convenzionale, ad esempio ponendo, per , . Facciamo dunque così. In definitiva, la quantità  che compare nella (1) avrà il valore

 

e la (1) risulterà valida anche con .

 

La relazione (1) trae la sua verità dal fatto che l’ipotesi afferma la derivabilità di f(z) in z_0.

f(z) è una funzione, definita su tutto un intorno di z₀; fin qui, NON stiamo ancora riguardando z come variabile che dipende da x, stiamo trattando z come una variabile indipendente, e indicando con  lo scostamento del suo valore dal valore-base z₀.

Fra un attimo riguarderemo invece z come variabile dipendente da x; al variare di x, varierà anche z; con x=x₀, sarà z=z₀, e quando x subirà un incremento algebrico  diventando , allora z diventerà  , subendo un ben determinato incremento algebrico  (dipendente da  ), che potrà eventualmente anche essere nullo. Quindi, nel seguito, il simbolo , prima usato per indicare un generico incremento algebrico z-z₀, passerà ad indicare quel ben determinato incremento alg., eventualmente anche nullo, che la z(x) subisce quando da  x=x₀ si passa a .

 

Dopo questa premessa, andiamo a costruire il rapporto incrementale in x₀ della funzione F(x). Avendosi

 

sarà

 

e quindi, facendo tendere  a 0 , dal momento che quando ,  anche  ed , avremo

Derivazione di una potenza ad esponente qualsiasi

 

Grazie al teorema sulla derivazione della funzioni composte, siamo ora in grado di dimostrare un risultato molto importante che avevamo già anticipato senza dimostrazione, ossia:

 

la formula per la derivazione di una potenza:   già provata nel caso che l’esponente fosse un numero naturale: n = 0, 1, 2, 3, … si estende a QUALUNQUE esponente reale (positivo, negativo, frazionario, irrazionale):