La formula per la derivata di una funzione inversa

 

  funzione diretta

 funzione inversa

(osserviamo che per il discorso che ci interessa in questo momento, sarebbe controproducente scambiare i nomi della variabili!)

 

 

 

Se guardiamo la figura da sinistra anziché dal basso,

vediamo il grafico della funzione inversa  x=f -1(y)

a patto di riconoscere che l’asse di quella che è per noi ora la variabile indipendente (cioè y)

ci appare orientato al contrario

rispetto alle nostre abitudini.

 

 

 

 

 

 

Supponiamo ora f derivabile in x0, con .

f sarà dunque anche continua in x0; di conseguenza, per un teorema a noi noto, anche la funzione inversa F

sarà continua in y0=f(x0). Quando perciò faremo tendere  a zero, anche  tenderà a zero.

Possiamo scrivere:

 

 

ossia

 

 

NOTA.

Abbiamo già puntualizzato che quando  tende a zero, anche  tende a zero.

 può essere riguardata come quantità che dipende da  (=come funzione di  ); quindi possiamo pensare ad una composizione di funzioni, sulla quale è applicabile il “Teorema di sostituzione”.

Tutto ciò dimostra (sostituendo, a questo punto, il simbolo x0 col simbolo x e il simbolo y0 col simbolo y,

ma tenendo comunque sempre presente che x, y indicheranno due valori che “si corrispondono”),

il seguente:

 

 

Teorema

 

La derivata di una funzione inversa è uguale al reciproco della derivata della funzione diretta (purché quest’ultima derivata non sia nulla).

 

In simboli:

 

essendo:

  • x un punto fissato;
  • F = f -1 funzione inversa di f;
  • f ’(x) esistente e non nulla;
  • y immagine di x attraverso la f;
  • x controimmagine di y attraverso la f (o anche: immagine di y attraverso la F = f 1 )

 

E’ IMPORTANTISSIMO RICORDARE che

le due derivate che compaiono nella formula si intendono calcolate in due punti che si corrispondono!

y = f(x),  x = F(y)

 

 

Esempio

 

 

 

In questo caso, la formula darà:

 

Andiamo a controllare se è vero …:

 

 

Le derivate delle funzioni goniometriche inverse

 

Come applicazione importante, siamo ora in grado di calcolare

le derivate delle funzioni goniometriche inverse .

 

Cominciamo dalla prima.

 

           sarà la nostra funzione “diretta”,

    sarà la rispettiva funzione inversa.

Essendo, per il teorema appena stabilito, , avremo:

         

NOTA.

Il coseno dell’arco il cui seno è y, vale .

Il radicale non va fatto precedere dal doppio segno  

perché la scrittura  indica sempre  un arco

compreso fra   e  , quindi con coseno positivo.

E’ dunque  .

Ma a questo punto possiamo osservare che la lettera y qui utilizzata per indicare la variabile indipendente della funzione  potrebbe essere tranquillamente sostituita con qualsiasi altro simbolo:

ad esempio, le tre scritture

                        

hanno esattamente lo stesso significato.

 

Utilizzeremo nel seguito la scrittura con la variabile x, come d’abitudine.

 

 

Abbiamo in definitiva dimostrato che è

 

 

 

 

 

Con procedimenti analoghi si può provare che risulta