9.   DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA

 

Ripasso: la funzione inversa di una funzione data

 

Consideriamo la funzione  

E’ possibile ora, se si sceglie un valore di y, risalire al valore di x che ha generato quell’y?

Proviamoci.

 

Ecco fatto! La legge  è chiamata “funzione inversa” della  

e indicata col simbolo  

Questa legge, questa “funzione inversa”, permette di “tornare indietro”: a partire da y, si può risalire a quella che era la sua controimmagine x nella funzione diretta.

Dunque:

 

Supponiamo ora di voler rappresentare la funzione inversa appena ricavata, su di un riferimento cartesiano.

Tutto sommato, la rappresentazione ce l’abbiamo già, se abbiamo tracciato il grafico della funzione diretta! Sì, perché se noi anziché guardare il grafico dal solito punto di vista, ruotiamo il foglio di 90° in senso antiorario, avremo la y in orizzontale e la x in verticale, quindi potremo seguire, al variare di y, come varia x, col solo fastidio che, contrariamente alle nostre abitudini, la variabile indipendente (che qui è y) assume valori crescenti allorquando ci spostiamo con lo sguardo verso sinistra e non verso destra.

 

Se guardo da sinistra anziché dal basso, vedo sostanzialmente il grafico della funzione inversa x = (y-1)1/3 col solo inconveniente che la variabile indipendente y cresce  quando muovo lo sguardo nel verso opposto a quello al quale sono abituato.
	Se guardo da qui, vedo normalmente la funzione diretta y=x3+1

 

D’altra parte, potremmo anche decidere di considerare la funzione inversa come funzione “a sè stante”, svincolata dalla funzione “diretta” dalla quale eravamo partiti.

In questo caso, poiché la consuetudine è di indicare la variabile indipendente col simbolo x e la variabile dipendente con y, procederemo ad uno scambio di variabili.

 

Vediamo di spiegarci meglio.

Nel nostro esempio, eravamo partiti dalla funzione diretta 

 

e approdati alla funzione inversa

 

Bene!

La  è dunque quella “macchinetta” che, quando “ingoia” un numero, poi “sputa fuori” il numero ottenuto sottraendo 1 al numero di partenza ed estraendo una radice cubica.

Se ora, anziché indicare il numero di partenza con y e quello di arrivo con x, indichiamo il numero di partenza con x e quello di arrivo con y, e scriviamo dunque , la macchinetta resta sempre la stessa, la legge che fa passare dalla variabile indipendente alla variabile dipendente non cambia affatto!

 

In una funzione, quello che importa è il LEGAME fra la variabile indipendente e la variabile dipendente, non hanno importanza i NOMI che si riservano alle due variabili! Ad esempio, le uguaglianze       ecc. ecc. ... definiscono TUTTE LA STESSA FUNZIONE!!!

 

Pertanto, quando noi partiamo dall’uguaglianza  y = f(x)  per “invertirla”, isolando x al primo membro e ricavando così l’equazione della funzione inversa  x = f ¹(y),  se lo riteniamo opportuno (a volte la convenienza c’è, altre volte no), possiamo scambiare i nomi delle due variabili scrivendo la stessa funzione inversa sotto la forma y = f ^-1(x).

 

Se la funzione inversa f ¹ è stata scritta sotto la forma y = f ^-1(x), allora, rappresentandola sullo stesso riferimento cartesiano nel quale avevamo tracciato il grafico della funzione diretta y = f(x), potremo notare una cosa interessante e curiosa.

 

I due grafici, quello della funzione diretta f e quello dell’inversa f -1  “scritta a variabili scambiate”, sono simmetrici l’uno dell’altro rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante!!!

Ciò è dovuto al fatto che un certo punto (a,b) appartiene al grafico della  se e solo se la coppia (a,b) è tale che ; ma ciò avviene se e solo se  e perciò se e solo se il punto (b,a) appartiene al grafico della .

Pertanto i singoli punti della curva grafico di  si possono ottenere partendo da ciascun punto del grafico della , e scambiandone le coordinate; il che equivale, come sappiamo, a simmetrizzare quel punto rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

 

Naturalmente, una funzione può essere invertita solo se è iniettiva

(=a valori diversi di x, corrispondono sempre valori diversi di y =

 = non c’è nessun valore di y che abbia più di una controimmagine =

 = non c’è nessuna retta parallela all’asse delle x, che intersechi il grafico in più di un punto).

 

Spesso, una funzione f(x) non è iniettiva considerandola su tutto il suo dominio, ma è “iniettiva su di un intervallo”; allora, si finisce per invertirla soltanto su tale intervallo.

Esempio:

 non è, evidentemente, iniettiva sul suo dominio R; ma lo è su .

Si può perciò invertire su  ottenendo:

 

Giova tener presente, a proposito di questo discorso, che se una funzione è strettamente monotona

(=strettamente crescente, oppure strettamente decrescente) su tutto un intervallo, allora è iniettiva (e quindi invertibile) su quell’intervallo.  Ricordiamo che:

 

 

 

Esercizi.

Per ciascuna delle seguenti funzioni:

a)       ricava l’espressione della funzione inversa;

b)       scambia i nomi delle variabili

c)       rappresenta f ed f ¹ su di uno stesso riferimento cartesiano, per constatare la simmetria delle due curve rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.