- DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE
Data una funzione y=f(x), derivabile su di un insieme E, possiamo pensare alla sua funzione derivata f ’(x) come ad una nuova funzione che, eventualmente, potrà essere a sua volta derivabile, magari soltanto su di un sottoinsieme di E .
La derivata della derivata prima si chiama “derivata seconda” e si indica con uno dei simboli:
(leggi : derivata seconda di y rispetto
a x due volte), …
A sua volta, la derivata seconda f ’’ (x), vista come funzione, potrà eventualmente essere derivabile e in tal caso si parlerà di derivata terza … e così di seguito con la derivata quarta, la derivata quinta, ecc.
- Esempio 1:
- Esempio 2:
- Osservazione 1: Il polinomio di 4° grado considerato nell’Es. 2 aveva tutte le derivate di ordine superiore al 4° uguali a zero. In generale, preso un qualsiasi polinomio di grado n, si vede che, ad ogni derivazione, esso si abbassa di un grado, perciò avrà come derivata di n-esimo ordine una costante, e tutte le derivate di ordine maggiore di n nulle.
- Osservazione 2. Nella figura sottostante sono rappresentate:
la funzione g(x) dell’Esempio 2, la sua derivata prima g’(x) e la sua derivata seconda g’’(x).
Comincia fin d’ora ad osservare quanto sarà oggetto di un attento studio successivamente:
q laddove la derivata prima g’(x) è positiva (risp. negativa),
la retta tangente alla funzione g(x) è in salita (discesa)
e quindi anche la g(x) ha un andamento crescente (decrescente) …
q Riguardo alla derivata seconda g’’(x): laddove essa è positiva (negativa),
la derivata prima g’(x) è crescente (decrescente),
quindi il coeff. ang. della retta tang. alla funz. g(x) cresce (decresce), al crescere dell’ascissa
… ma ciò comporta che la forma del grafico della g(x) sia concava (convessa)
