Schema per la distinzione di casi:

3 casi, dunque!

 

 

 

 

 

Primo intervallo:  

 

Dominio:   

;      

 

;   ;    

 

Pertanto y’ non si annulla mai, anzi è sempre strettamente negativa su :

la funzione, in questo intervallo, è decrescente.

 

 

 

 

 

Grafico sull’intervallo :

 

 

Secondo intervallo:   

 

Dominio:   

;      

Sull’intervallo  il segno dell’espressione  è, evidentemente, sempre negativo;

per stabilire questo, basta osservare l’espressione e tener conto della positività di x, non è necessario utilizzare uno schema! Lo schema, comunque, sarebbe il seguente:

 

 

     

 

 

 

 

:  nel punto x=2 la funzione non è definita, ma al tendere di x a 2 da sinistra la pendenza del grafico tende all’orizzontalità.

 

 

L’espressione   si annullerebbe con x = 4,  ma tale valore non appartiene all’intervallo di riferimento ; pertanto, la y” non si annulla mai in tale intervallo, e anzi assume sempre, in esso, valori strettamente positivi (il numeratore x-4 è negativo, il denominatore è positivo, c’è il segno negativo davanti alla frazione).

Pertanto la funzione è sempre CONVESSA nell’intervallo .

 

E’ interessante osservare il comportamento della funzione nel punto x=0:

si ha, come abbiamo visto,    

per cui il punto in questione NON è angoloso; tuttavia, qualcosa cambia bruscamente nell’attraversamento dell’ascissa 0, ed è la CURVATURA del grafico.

Infatti   mentre   

Quando il grafico “arriva al punto di ascissa 0, dalla sinistra”, la derivata seconda, che esprime la velocità di variazione della derivata prima, è prossima a 0, per cui l’inclinazione del grafico è prossima alla stabilità, la curvatura del grafico è pressoché nulla.

Quando invece il grafico “riparte dal punto di ascissa 0, verso destra”, la derivata seconda, cioè la rapidità di variazione della derivata prima, è prossima a 2. L’inclinazione si evolve con una certa rapidità, la curvatura è più accentuata.

 

Lo studio del segno della derivata seconda  è molto semplice e per effettuarlo non è indispensabile uno schema: nell’intervallo che stiamo considerando, ossia l’intervallo ,

y” è sempre positiva e la funzione è perciò sempre convessa.

Grafico sull’intervallo :

 

 

 

Terzo intervallo:   

 

Dominio:   

 

Sull’intervallo  il segno dell’espressione  è, evidentemente, sempre POSITIVO.

Si ha .

 

Era invece ;

quindi, nell’attraversamento dell’ascissa x= 2 (ascissa nella quale la funzione non è definita),

si ha un “salto” ovvero una “discontinuità di prima specie”.

 

 

 

 

Nell’intervallo di riferimento  la y’ è sempre negativa, quindi la funzione è sempre decrescente.

:  nel punto x=2 la funzione non è definita, ma al tendere di x a 2 da destra la pendenza del grafico tende all’orizzontalità (così come abbiamo visto avvenire anche da sinistra).

L’andamento del grafico in prossimità dell’ascissa 1 è, in definitiva, il seguente:

 

 

 

 

 

 

L’espressione   si annulla con x = 4.

Tale valore appartiene all’intervallo di riferimento .

Inoltre nell’attraversamento dell’ascissa x = 4 la y” cambia di segno, passando dalla negatività alla positività: pertanto la nostra funzione passa dalla convessità alla concavità, e il punto x = 4 è di flesso. Si ha

 

 

 

Grafico sull’intervallo  

(non è stata tracciata la tangente inflessionale nel punto di ascissa 4,

perché data la quasi rettilinearità del grafico, essa si sarebbe confusa con la curva):

 

 

Ed ecco il grafico della nostra funzione        ottenuto facendo un “collage” dei tre “pezzi”!!!!