q        Dominio:          

q        Né pari né dispari

 

q        Intersezioni con gli assi

·         Poiché la funzione non è definita con x=0, non si hanno intersezioni con l’asse y.

 

·         Ricerchiamo ora le eventuali intersezioni con l’asse x.  

  se e solo se  . Ma quest’ultima equazione è impossibile! Infatti…

 

… IMPORTANTISSIMO! Un’esponenziale, ossia una funzione della forma at, con a>0, non si annulla mai, per nessun valore dell’esponente t, anzi: è STRETTAMENTE POSITIVA per ogni valore dell’esponente. In altre parole, elevando una costante positiva ad un qualsivoglia esponente (positivo, negativo o nullo; intero, razionale o irrazionale), il risultato che si ottiene è sempre strettamente positivo.

 

Quindi, in definitiva, la curva grafico della nostra funzione non ha nessuna intersez. con gli assi.

 

q        Segno della funzione

       

Abbiamo già osservato che il numeratore è >0 per ogni x (diverso da 0, ovviamente);

perciò si ha:    

 

q        Limiti ai confini del dominio:

                     

 

L’ultimo fra i quattro limiti presenta una Forma di Indecisione, che tenteremo di sciogliere con la regola di De l’Hospital:

 

 

Vediamo purtroppo che l’applicazione (reiterata) di De l’Hospital non scioglie l’indecisione, bensì la ripropone continuamente (con un denominatore, anzi, di grado via via sempre più elevato).

Ciò è dovuto al fatto che derivando l’esponenziale   si genera, per derivazione dell’esponente, il fattore , il quale va a vanificare l’ “abbattimento di un grado”, per derivazione, del monomio che si aveva a denominatore.

Un tentativo di superare l’ impasse potrebbe consistere nell’effettuare una sostituzione che porti l’esponenziale ad assumere una forma più “addomesticata”, tale che attraverso la derivazione si mantenga sostanzialmente “stabile”.

Poniamo allora  .  Avremo    e con  sarà .

Il nostro limite diventerà:   

Evviva!!! Possiamo finalmente concludere che   

NOTA.

Avremmo anche potuto evitare di ricorrere ad una sostituzione, procedendo nel modo seguente:

 

q         Derivata prima           

     

        

 

Prima di procedere col calcolo della derivata seconda, dobbiamo “domandare ancora qualche cosa” alla y’.

La nostra funzione f(x) ha un comportamento molto particolare in prossimità dell’ascissa 0:

infatti si ha   ,     

Dunque, quando  ,  y  tende a 0: ma CON QUALE  PENDENZA  la curva y=f(x) si “tuffa”, da destra,  nel punto (0,0)?

 

COSI’? … (secondo l’orizzontalità)

… COSI’? … (secondo un determinato angolo diverso sia da 0° che da 90°)

… O COSI’? (secondo la verticalità)

 

Risponderemo calcolando il  .

Anche questo limite è “brutto”: presenta infatti una Forma di Indecisione .

Seppure l’esperienza induca a “scommettere” in favore dell’esponenziale (e, quindi, a pronosticare che il limite valga 0), sorge l’esigenza di sciogliere l’indecisione con un procedimento rigoroso.

Purtroppo portando la funzione sotto una delle due forme    o   

si va incontro, oltre che a calcoli pesanti, allo stesso fallimento che abbiamo sperimentato con la Forma di Indecisione precedente.

Siamo allora portati a effettuare ancora la sostituzione    (da cui  )  per ottenere

 

 

Pertanto la pendenza con la quale la y=f(x) “entra” nell’origine da destra, tende all’orizzontalità e, fra le tre alternative sopra prospettate, quella corretta è la prima:

q        Derivata seconda               

 

Perciò           … mentre affidiamo al lettore volonteroso gli analoghi calcoli per quanto riguarda l’altro flesso. Si trova:
Ed ecco il grafico della funzione!!!