q        Dominio:          

q        Né pari né dispari

 

q        Intersezioni con gli assi. 

Con l’asse y:        

Con l’asse x:           

 

Dell’equazione   si possono localizzare le soluzioni col metodo grafico, poi, in un secondo tempo, approssimarle meglio con una procedura numerica, ad esempio il metodo di bisezione.   Si vede che l’equazione ha una sola radice, compresa fra 1 e 0. Una sua approssimazione ulteriore porterebbe a stabilire che tale soluzione vale circa 0,70.

 

Quindi si ha una sola intersezione con l’asse x:   

 

q        Segno della funzione

q         Limiti ai confini del dominio:

 

       

 

Il rapporto   tende a +infinito, come dovrebbe essere noto e come in ogni caso si può facilissimamente dimostrare applicando de l’Hospital.   Più in generale, si ha:

 

q         Eventuali asintoti obliqui.

Verso destra:

 

Quindi, non c’è asintoto obliquo verso destra.

 

Verso sinistra:

 

 

 

NOTA 1.   -       Abbiamo scelto di procedere per raccoglimenti, ma in alternativa avremmo potuto benissimo anche applicare la regola di De l’Hospital

NOTA 2.   -        

NOTA 3.   -      Qui abbiamo applicato la regola di De l’Hospital, ma avremmo potuto benissimo

sciogliere l’indecisione raccogliendo x sia a numeratore che a denominatore.

 

Perciò la retta    è asintoto obliquo sinistro per la nostra funzione.

 

q         Derivata prima           

 

         

 

           

 

L’equazione  può essere affrontata col metodo grafico, per poi eventualmente approssimare meglio le soluzioni con una procedura numerica.   Si trovano due soluzioni,    e  .   Approssimandole meglio, ad es. con bisezione, si vede che

 

Poiché    con  ,  è anche   con  .

Quindi avremo:

 

 

q        Derivata seconda                 

	Una sola soluzione : con un metodo numerico si trova   Semplici considerazioni complementari assicurano che y’’ cambia di segno nell’attraversamento di questa ascissa . Pertanto essa è punto di flesso per la f(x).
Ed ecco il grafico !!!