q        Dominio:          

q        Né pari né dispari

 

q        Intersezioni con gli assi.  Con l’ asse y:   

 

Intersezioni con l’asse x	FINESTRA SULLA TEORIA   Un’equazione irrazionale della forma   è equivalente al sistema

 

q        Segno della funzione

 

FINESTRA SULLA TEORIA   Una disequazione irrazionale della forma   è equivalente a:     Invece una disequazione irrazionale della forma   è equivalente a:   dove due sistemi sono legati da un VEL  logico: perciò, trovati gli insiemi delle soluzioni di ciascuno, occorrerà farne l’ unione insiemistica

 

Ricapitolando:     e la situazione del segno della funzione è quella illustrata nello schema seguente. Importante osservare che le categorie sono 4: 1. positività    2. negatività    3. annullamento    4. NON ESISTENZA

 

q        Limiti ai confini del dominio:

 

Hai per caso scritto   ?

Sììììì?

Beh, non hai sbagliato, ma, più semplicemente, avresti potuto scrivere

 

in quanto, per x = -1, la funzione ESISTE! (ed è CONTINUA VERSO SINISTRA,

quindi il valore del limite coincide sicuramente col valore della funzione)

 

Analogamente si ha   

 

 

Osserviamo che troppo spesso, di fronte a Forme di Indecisione che coinvolgono radicali, si è portati “per istinto” a razionalizzare: spesso, invece, non è assolutamente necessario, come mostra, appunto, il limite precedente.

 

 

 

Il limite appena calcolato era di risoluzione IMMEDIATA:

non si trattava, infatti, di una Forma di Indecisione.

q         Eventuali asintoti obliqui

VERSO DESTRA

 

Ricerca di m

 

Per risolvere questo limite non è necessario razionalizzare il numeratore.

E’ sufficiente spezzare la frazione:

.

Ricerca di q

 

Ora andiamo a calcolare il

 

 

Questa volta il raccoglimento non ha consentito di sciogliere l’indecisione. Procediamo dunque per razionalizzazione del numeratore.

 

Abbiamo così stabilito che

la retta    è asintoto obliquo destro per la nostra funzione.

Eventuale asintoto obliquo VERSO SINISTRA:

Ricerca di m      

Per risolvere questo limite non è necessario razionalizzare il numeratore: basterà spezzare la frazione. Ci sarà però, nei passaggi, una difficoltà,  dovuta alla negatività di x.

Teniamo presente che un fattore esterno si può portare sotto il segno di radice quadrata

(elevandolo, ovviamente, al quadrato) soltanto se è positivo! Vediamo allora come procedere:

.

 

Ricerca di q     

 

NOTA 1  Importantissimo tenere presente che identità come ,    

valgono SOLTANTO A CONDIZIONE CHE x SIA POSITIVO!!!

Se x è negativo, oppure se il segno di x non è noto o è variabile, bisognerà invece far comparire un valore assoluto, scrivendo     

NOTA 2  Poiché nel nostro caso x tende a , quindi è negativo, avremo .

Infatti   

Comunque, anche in questo caso il procedere per raccoglimenti non ci ha permesso di sciogliere l’indecisione. Razionalizziamo, dunque, ottenendo:

 

Resta stabilito che la retta  è asintoto obliquo sinistro per la nostra funzione.

q         Derivata prima                 

Il dominio D’ della f ’(x) è più ristretto del dominio D della f(x):

la derivazione ha fatto passare a denominatore l’espressione  ,

cosicché nei punti in cui tale espressione si annulla (x = -1,  x = 0) , 

la funzione esiste, ma non è derivabile.

Calcoliamo allora il  

Perciò la funzione “arriva al punto di ascissa 1 verticalmente, con salita infinita”.

 

Si ha poi:  

e ciò significa che la funzione “parte dal punto di ascissa 0 con discesa infinita”.

 

 

  

 

    

Essendo il denominatore positivo su tutto il dominio  della derivata prima, basterà chiedersi quali sono i valori di x che rendono positivo il numeratore. Dunque:

 

 

q        Derivata seconda   

			Dunque la derivata seconda non può mai annullarsi; essa, laddove esiste   è sempre >0. Pertanto la funzione è concava su tutto il suo dominio.
Ed ecco il grafico !!!