q
Dominio:
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q f(x) non è né pari, né dispari
q Intersezioni con gli assi
Con l’asse y: Con l’asse x:
q Segno della funzione
La y è espressa da una radice quadrata;
e il risultato di un’estrazione
di radice quadrata, quando esiste, è sempre .
Ricordiamo che, ad esempio, il
simbolo
NON sta ad indicare
“uno qualsiasi fra i numeri che elevati al quadrato danno 9” (-3 e +3),
bensì indica QUEL NUMERO NON NEGATIVO IL CUI QUADRATO DA’ 9
(ossia, il +3)
Perciò la nostra funzione, laddove esiste, è sempre positiva (o nulla), e avremo:
q Limiti e valori ai confini del dominio:
Tu avevi per caso
scritto ?
Beh, questo non è affatto sbagliato,
ma è molto più “logico”
scrivere semplicemente
in quanto, per x = -2, la funzione ESISTE, ed è CONTINUA VERSO DESTRA,
quindi il valore del limite coincide sicuramente col valore della funzione.
E’ quindi preferibile pensare ad un VALORE, piuttosto che ad un LIMITE
(il limite, qualora venisse calcolato, coinciderebbe col valore).
Il discorso è analogo, evidentemente, per gli altri confini finiti del dominio.
q
Non si hanno asintoti obliqui, perché
q
Derivata prima
Il dominio D’ della f ’(x) è più ristretto del dominio D della f(x):
la
derivazione ha fatto passare a denominatore l’espressione ,
cosicché
nei punti in cui tale espressione si annulla
la funzione esiste, ma non è derivabile.
essendo
D = dominio di f ; D’ = dominio
di f ’
Sarà allora opportuno andare a vedere qual è il comportamento della y’,
quando x si avvicina a queste particolari ascisse x = -2, x = 0, x = 2.
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… quindi la curva grafico della funzione “parte
dal punto di ascissa con salita infinita”
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… quindi la curva grafico della funzione “arriva al punto di ascissa 0 in discesa infinita”
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… quindi la curva grafico della funzione “parte dal punto di ascissa 2 con salita infinita”
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q
Derivata seconda
Dunque è
Risolvendo la biquadratica si trova:
In definitiva, l’unico valore per cui si annulla y’’
è .
Questa ascissa
non si può classificare “tout-court” come un
flesso;
per trarre, eventualmente, questa conclusione, occorrerà accertarsi che nell’attraversamento dell’ascissa in esame, la y” cambi di segno.
In effetti così accade, perché il trinomio
biquadratico può scomporsi in
Il primo fattore è sempre positivo; il fattore è invece scomponibile nel prodotto
.
Pertanto, se andiamo a porre l’espressione analitica
della y” sotto una forma che presenti esclusivamente fattori di 1° grado, uno e
un solo di questi fattori risulterà cambiare di segno nell’attraversamento
dell’ascissa
e ciò comporta che la y” cambi di segno nel passaggio dalla sinistra alla destra di tale ascissa.
Questa, dunque, è effettivamente di flesso per la
f(x).
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Nell’affrontare lo studio di questa
funzione
avremmo anche potuto procedere tracciando
prima il grafico di
e poi “manipolandolo” in modo da ottenere un
abbozzo della curva
In questo modo, avremmo già potuto ottenere un grafico “provvisorio” della f, abbastanza soddisfacente.
Dopodiché, il calcolo di f ’(x) e f ’’(x) ci avrebbe consentito di determinare con precisione il massimo relativo e il “probabile” flesso, di cui il grafico “provvisorio” rivela (nel caso del massimo) o suggerisce (nel caso del flesso), la presenza.
Osserviamo che nel passaggio dalla funzione “madre” alla “figlia”
,
· i punti con y=1 e con y=0 vengono “riconfermati”;
· ogni punto con y>1 “genera” un punto “figlio”, avente la stessa ascissa ma ordinata inferiore
· ogni punto con 0<y<1 “genera” un punto “figlio”, avente la stessa ascissa ma ordinata leggermente superiore (ancora compresa, però, fra 0 e 1)
· ogni punto (x,y) con y<0 rimane “sterile”, nel senso che la curva “figlia” non avrà nessun punto con quell’ascissa x.
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La figura qui a fianco rappresenta la
curva di equazione
Per esercizio, puoi ricavare da questa un grafico approssimativo
della constatandone la buona aderenza al grafico preciso, riportato sopra. |
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