Osserviamo subito che l’espressione analitica della f(x) si può portare sotto diverse forme alternative:

 

Di volta in volta ci serviremo, a seconda dell’opportunità, dell’una o dell’altra fra queste espressioni equivalenti.

 

q        Dominio =    (un radicale con indice DISPARI esiste qualunque sia il segno del radicando)

 

q           per cui f non è né pari, né dispari

 

q        Intersez. con l’asse y:     quindi   

 

Intersez. con l’asse x:        

q        Segno della funzione:

q        Limiti ai confini del dominio: .

La funzione non possiede asintoti obliqui.

 

 

q        Derivata prima:

 

 

 

La condizione  posta all’atto di semplificare per  x²  ci potrebbe indurre a ritenere che la derivata prima non esista con x=0.

Andiamo tuttavia a determinare il limite della f ’(x), quando  x  tende a 0: ci attende una sorpresa.

 

Il teorema che abbiamo chiamato “Criterio di Derivabilità” ci assicura perciò che:   

 

In effetti, calcolando direttamente la derivata in 0  come limite del rapporto incrementale, si avrebbe

 

.

Tutto ciò  è particolarmente interessante. Dall’espressione generale della y’ sembrava che la  y’(0) non esistesse, invece abbiamo poi scoperto che esiste (e vale 0). Come mai, allora, l’espressione della y’ aveva un denominatore che si annullava con x=0, così da far ritenere in un primo tempo che y’(0) non fosse definita?

La spiegazione sta nel fatto che la formula di derivazione per la funzione , vale a dire:  ,

è applicabile soltanto a condizione che sia .

Pertanto, data una funzione della forma , non possiamo pretendere di poter utilizzare tale formula anche nei punti in cui  si annulla.  Ma la non applicabilità della formula di derivazione  

non comporta necessariamente la non derivabilità della funzione  nei punti in cui g(x)=0:

la questione se la  y  sia derivabile o meno in tali punti, resta aperta.

 

L’espressione analitica  che abbiamo trovato per la derivata prima, perde inoltre significato con . Calcolando il  avremo:

 

Perciò, per il Criterio di Derivabilità, ,  nel senso che il rapporto incrementale centrato nell’ascissa -1 tende, al tendere a zero dell’incremento, all’infinito positivo (= il grafico della funzione attraversa l’ascissa -1 “in salita verticale”).

 

Andiamo a controllare ulteriormente la correttezza di questo risultato, determinando la derivata in x = -1 come limite del rapporto incrementale:

 

 

 

Ora possiamo ricapitolare e proseguire:

 

 

 

         

      

 

 

q        Derivata seconda:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

	La natura del punto di ascissa 0 era già nota dalle considerazioni precedenti: si tratta di un punto stazionario ( y’(0)=0 ), di minimo relativo. Nell’intorno dell’ascissa 0 il grafico della funzione sta tutto al di sopra della retta tangente in (0,0): perciò si tratta di un punto di concavità per la funzione, sebbene in tale punto non esista la y’’ (che “diventa infinita”).
	La natura del punto di ascissa -1 era già nota dalle considerazioni precedenti: x= -1 è punto di flesso verticale. Nell’attraversamento dell’ascissa -1, la y’’ da positiva diventa negativa; tuttavia, nell’ascissa -1 la y’’ non esiste (in x = -1 non esisteva neppure la y’ !). Insomma, si tratta di un caso in cui la y’’ cambia di segno senza annullarsi.
e quindi, per il Criterio di Derivabilità (applicato alla y” vista come derivata della y’),	Nel punto x= - 4/5, la funzione ammette regolarmente tanto la derivata prima quanto la derivata seconda. Essendo y’’( - 4/5)<0, il punto in esame è di convessità per la funzione. Già sapevamo trattarsi di un massimo relativo.

 

Ricapitolando:

 

 

 

 

 

 

 

 

Lo studio del segno della y” è banale e dall’esito ampiamente prevedibile:

le due ascisse appena trovate risultano essere di flesso.

 

Ed ecco il grafico!!!