q
Dominio:
q La funzione non è né pari, né dispari
q
Intersezioni con l’ asse y:
Intersezioni con l’asse
x
Perciò, in definitiva, l’unica intersezione con gli assi è l’origine.
q Segno della funzione
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q Limiti ai confini del dominio
q Derivata prima
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q Derivata seconda
Dunque .
L’equazione è un’equazione
algebrica di terzo grado.
Ogni tentativo di risolverla per scomposizione in fattori col metodo di Ruffini fallisce in quanto,
fra i divisori del termine noto +6, nessuno risulta essere uno zero del polinomio a primo membro.
Ciò significa che l’equazione in questione non ha soluzioni razionali; potrebbe però averne di irrazionali (anzi, che ne abbia almeno una è certo, perché, come sarebbe facilmente dimostrabile, qualsiasi equazione algebrica di grado dispari a coefficienti reali ammette sempre almeno una soluzione reale).
E’ noto che esistono formule risolutive per le equazioni algebriche fino al 4° grado
(invece, come dimostrò il norvegese Abel nel 1824, per le equazioni algebriche di grado maggiore o uguale a 5 non può esistere alcuna formula risolutiva).
Se, tuttavia, non abbiamo a disposizione la formula risolutiva per le equazioni di terzo grado, o, comunque, se vogliamo farne a meno, potremo pur sempre approssimare le soluzioni dell’equazione considerata, utilizzando il metodo grafico.
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A
tale scopo, scriviamo
Tracciamo poi su di uno stesso riferimento cartesiano i grafici delle due funzioni
con l’obiettivo di localizzare le ascisse dei loro punti di intersezione. |
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Si ha senz’altro una intersezione nell’intervallo ( -5, 0 ).
Un disegno più preciso mostrerebbe che la soluzione in questione è
compresa fra -3 e 2.
Le due curve, però, appaiono molto vicine anche fra l’ascissa 0 e l’ascissa 5; si intersecheranno anche in quell’intervallo oppure no?
Ovviamente, utilizzando un computer, basterebbe fare uno “zoom” del grafico nella zona considerata.
E se invece avessimo a disposizione solo carta e matita …?
… In questo caso, potremmo procedere nel modo seguente.
Determiniamo
l’equazione della retta t, che è
tangente al grafico della curva in un punto di ascissa positiva, ed è parallela
alla nostra retta
.
L’equazione
di t sarà della forma:
L’obiettivo sarà di stabilire come è disposta tale tangente t , rispetto alla r.
·
Se t sta al di sopra di r (q> -6), allora non si ha nessuna intersezione
di ascissa positiva fra r e la curva .
·
Se t coincide con r (q= -6), allora r è tangente a :
una, e una sola, intersezione di ascissa positiva.
·
Se t sta al di sotto di r (q< -6), due intersezioni di ascissa
positiva fra r e .
La derivata della funzione è
.
Tale derivata vale 6 se e solo se ossia con
.
Il punto di tangenza che ci interessa è .
La
retta tangente cercata è dunque .
Essendo
ora , la tangente t sta al di sopra della retta r:
nessuna intersezione, dunque, fra r e
.
Un
altro modo di risolvere la questione se la curva intersecasse o meno la retta
in un punto di ascissa x>0 avrebbe potuto
essere il seguente.
La figura che riporta i grafici approssimativi
delle due funzioni e
, mostra che la funzione differenza
deve toccare
un minimo relativo in un punto di ascissa positiva.
Bene:
·
se tale minimo relativo è <0, allora vuol dire che i grafici di e
si intersecano, con x>0, in due punti;
· se invece il minimo relativo in questione è nullo, allora le due curve si toccano, con x>0, in un punto solo;
· se, infine, tale minimo relativo è >0, allora le due curve non si intersecano affatto con x>0.
Si
tratta perciò di effettuare un brevissimo studio della funzione ,
per determinare il segno dell’ordinata del punto di ascissa positiva, in cui
essa tocca un minimo relativo.
Ora, è:
;
;
.
Ma è .
Nessuna intersezione di ascissa positiva, dunque.