IL DIFFERENZIALE

 

Nella figura è rappresentata una funzione  derivabile in un’ascissa _.

Il grafico della f è dunque dotato di retta tangente, non verticale, nel punto ;

tale retta tangente ha, com’è noto, equazione   

 

 

A partire dal valore , diamo alla variabile indipendente un incremento : 

passiamo cioè da  al nuovo valore . Che incremento subisce, in corrispondenza, la nostra funzione?  

 

Dall’ordinata  si va alla nuova ordinata , quindi l’incremento subito dalla funzione è

.

Nella figura, tale incremento  è rappresentato dalla misura relativa del segmento orientato .

 

Pensiamo ora a cosa succederebbe prendendo  molto, ma molto piccolo.  

Con  piccolissimo, il grafico della f è vicinissimo a quello della tangente t: dunque il segmento orientato che nella figura è indicato con  tende ad identificarsi col segmento orientato , la cui misura relativa è  (ricorda che il coefficiente angolare della retta tangente è  e tieni presente che il coeff. ang. di una retta è uguale al rapporto fra la diff. delle ordinate e la diff. delle ascisse, di due punti qualsiasi della retta stessa:                quindi   da cui    e infine   )

 

Pertanto, se siamo interessati all’incremento  che la funzione subisce, quando diamo alla x un PICCOLO incremento, facendola passare da  a , potremo egregiamente approssimare  con la quantità  . Riassumendo:

 

,  se  è piccolo cioè: ,  se  è piccolo.   Insomma, l’incremento  subito da una funzione, in corrispondenza di un PICCOLO incremento  della variabile indipendente, è ben approssimato dalla quantità , che è “l’incremento della y, misurato non sul grafico della funzione, bensì sulla retta tangente”

In Matematica e nelle sue applicazioni (ad esempio alla Fisica),  è assai frequente che interessi valutare il piccolo incremento  subito da una determinata funzione f , quando si dà alla variabile indipendente un piccolo incremento , che la porti dal valore  al valore .

 

Abbiamo scoperto che tale incremento è egregiamente approssimato dalla semplice e “maneggevole” quantità  (se, beninteso,  è molto piccolo!)

E abbiamo anche visto che questa quantità  corrisponde all’ “incremento della y, misurato non sul grafico della funzione, bensì sulla retta tangente”.

 

Alla quantità   si dà un nome particolare: la si chiama il DIFFERENZIALE della funzione f, e la si indica con  o anche con .

 

= differenziale della funzione f = = quantità che bene approssima l’incremento della f, per un piccolo incremento della x   Il differenziale è dunque il prodotto della derivata, per l’incremento della variabile indipendente.

 

Osserviamo che:

 

a)       il differenziale è una quantità che dipende da DUE variabili:  e  ;

tuttavia, se pensiamo  fissato, il differenziale dipenderà soltanto da .

 

b)       E’ vero: il differenziale è utile, per approssimare l’incremento della funzione, soltanto quando  è molto piccolo;

d’altra parte, il differenziale è una quantità che resta definita anche quando  non è piccolo.  

 

c)       Il significato geometrico del differenziale è importantissimo per comprendere bene. Ribadiamolo ancora una volta:

differenziale = incremento della y, misurato non sul grafico della funzione, bensì sulla retta tangente.  

 

q       VEDIAMO UN ESEMPIO:

 

Il differenziale della funzione  è:

   (posso pure scrivere:  )

Ciò significa che, per un piccolo incremento di x, la quantità  fornisce un’ottima approssimazione dell’incremento subito dalla funzione .

Ad esempio, se voglio valutare l’incremento subito dalla funzione  nel passaggio da  a  

, potrò dire che tale incremento è molto vicino a .

In effetti, andando a calcolare il VERO incremento della funzione , si trova .

 

q       UN ALTRO ESEMPIO: SMARRIMENTO DELLA CALCOLATRICE

 

Mi serve assolutamente il valore di , cioè il seno dell’angolo di  , aumentato di 1/100 di radiante ; non trovo però più la mia calcolatrice scientifica. Posso allora approssimare l’incremento  col differenziale   calcolato per  e .  Avrò ,  da cui

 

(la radice di 3, l’ho calcolata a tavolino con l’algoritmo imparato nelle Scuole Medie).

Quindi  .

 

… DOPO ALCUNI GIORNI …   Oh, guarda un po’ ! Ho trovato sotto il sofà la mia calcolatrice scientifica.

Sono curioso di vedere che valore mi dà per  . Sul display mi compare  !!!

Beh, d’accordo, in tutto questo vanno tenuti  presenti sia il mo errore di troncamento sul valore di , che gli errori di arrotondamento della macchinetta nel calcolo di . Comunque sia, è certo che l’utilizzo del differenziale mi ha consentito di fornire un’approssimazione eccellente.

 

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