INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
(=RAPPORTI DI POLINOMI)
Studieremo ora tecniche specifiche per gli integrali della forma
,
essendo A(x) e B(x) due polinomi.
E’ lecito supporre che il numeratore A(x) sia di grado inferiore rispetto al denominatore B(x):
infatti, se così non fosse, ci si potrebbe pur sempre riportare a questo caso, sostanzialmente tramite una divisione fra polinomi, come mostra l’esempio seguente:
.
Poiché
il numeratore non è di grado inferiore rispetto al denominatore,
svolgiamo la divisione:
Ora abbiamo a disposizione
l’identità
e ciò fa sì che il nostro integrale possa essere trascritto come:
In generale, di fronte ad un
integrale di funzione razionale fratta in cui sia
,
si svolgerà la divisione
,
poi si utilizzerà l’identità
che permetterà di scrivere la funzione integranda sotto una forma diversa:
In tal modo ci si ricondurrà all’integrazione del polinomio Q(x) (immediata) e della funzione razionale fratta R(x)/B(x).
Ma in quest’ultima il numeratore è di grado inferiore rispetto al denominatore, perché in una divisione di polinomi il polinomio resto ha sempre grado minore rispetto al polinomio divisore.
Il caso in cui il denominatore è di 1° grado
Se il polinomio a denominatore è di 1° grado, allora, per quanto sopra, possiamo supporre che il numeratore sia di grado zero, cioè sia una costante.
Dunque il nostro integrale sarà della forma
e procederemo come nell’esempio che segue:
(NOTA)
In generale:
NOTA
Per la precisione, sarebbe
;
d’altra parte, poiché indica una costante arbitraria, anche
sarà una costante arbitraria;
e questa costante arbitraria potrà essere indicata ancora con c.
Volendo effettuare tutti i passaggi, con perfetta salvaguardia della correttezza formale, si potrà scrivere: