INTEGRAZIONE “PER PARTI”

 

Capita a volte che la funzione integranda si presenti come il prodotto di due funzioni, tali che nessuna di esse sia la derivata dell’altra, ma tali però che fra le due, almeno una sia “facilmente integrabile”. In questi casi può talvolta “funzionare” la cosiddetta regola di integrazione per parti.

 

Non vogliamo rappresentarla subito tramite una formula: infatti, la regola si assimila più facilmente se è descritta a parole. Anzi, è estremamente conveniente studiarsi la “filastrocca” a memoria e ripetersela passo passo mentre la si applica.

 

Premesso che

·         il fattore “facilmente integrabile” viene chiamato “fattor differenziale” (fd)

·         mentre l’altro fattore viene detto “fattor finito” (ff),

la regola dice così:

 

“fattor finito X (moltiplicato) l’integrale (NOTA 1) del fattor differenziale,  (meno) l’integrale (NOTA 2) dell’integral trovato, X la derivata del fattor finito”.

NOTA 1 qui “integrale” significa “primitiva” NOTA 2 qui “integrale” significa “operatore di integrazione  ”

 

Va detto che la scelta del fattore da prendersi come “fattor differenziale” è legata non soltanto a questioni di “facile integrabilità”, ma anche alla previsione della natura del nuovo integrale cui si perverrà: sì, perché quando si integra per parti non si conclude subito l’integrazione, ma la si riconduce al calcolo di un altro integrale, che sia più semplice di quello assegnato.

 

Esempio 1   fattor finito    X  l’integrale del  fattor differenziale,    l’integrale  dell’ integral trovato,  X  la derivata del fattor finito”     Verifica:

 

Prima di proseguire con gli esempi, traduciamo la regola in formula e dimostriamola.

Indichiamo con:

·           l’integrale di partenza

·         quello che la regola chiama l’ “integrale” (nel senso di “primitiva”) del fattor differenziale

 

La regola afferma dunque che

 

e dimostrarla significa semplicemente far vedere che  

Ora:

 

Esempio 2

 

Esempio 3

Qui si integra per parti una prima e poi una seconda volta!

 

 

Esempio 4

 

 

TIPICI INTEGRALI DA RISOLVERE PER PARTI sono:

 

		OSSERVAZIONE DI CARATTERE FORMALE In , tanto per fare un esempio, non sarebbe perfettamente corretto dire che il fattor differenziale è sen x: il “vero” fattor differenziale è, a stretto rigore,  sen x dx. Il fatto è che il “fattor differenziale” dovrebbe, volendo, poter essere pensato come il “differenziale” (vedi uno dei paragrafi successivi) di una funzione. Tuttavia, nello scrivere, ad esempio,  , non siamo stati tanto a sottilizzare, perché banali ragioni di carattere grafico ci avrebbero reso un po’ scomoda questa pignoleria.

 

 

INTEGRAZIONE COL “CIRCOLO VIZIOSO APPARENTE”

 

 

Sembra che si sia generato un circolo vizioso; abbiamo infatti ritrovato l'integrale di partenza.

Ma se si scrivono soltanto il primo e l’ultimo anello della catena, si trova:

 

da cui è possibile ricavare :