L’INTEGRALE DEFINITO
1. L’ “area sotto una curva”
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Il calcolo dell’ “area sotto una curva”, ossia dell’area della regione di piano compresa fra una data curva e l’asse delle ascisse (entro la fascia di piano delimitata da due ascisse fissate), è un problema il cui interesse è enorme non solo in matematica pura, ma anche in svariati altri campi, scientifici e tecnici. Ad esempio, in Fisica, l’ ”area sotto una curva” può assumere, di volta in volta, il significato di · “spazio complessivo percorso in un certo intervallo di tempo” (quando sia nota la legge della velocità in funz. del tempo); · “lavoro effettuato da una forza su di un oggetto che si sposta lungo un certo arco di traiettoria” (quando sia nota, per ogni singola posizione assunta dall’oggetto, la componente della forza nella direzione dello spostamento);
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Figura 1 |
Disponendo di un computer e di un software opportuno (es. un foglio elettronico), è possibile determinare valutazioni molto precise dell’area sotto una curva di equazione nota (entro due ascisse fissate).
Nel seguito, chiameremo “trapezoide” la figura mistilinea di cui desideriamo calcolare l’area.
Supponiamo inizialmente, per semplicità, che la funzione f(x) considerata sia monotòna crescente.
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Consideriamo le figure qui a fianco. L’intervallo [a,b] è stato suddiviso in n parti uguali, ciascuna di ampiezza , e gli estremi delle suddivisioni sono stati indicati con :
Il poligono ombreggiato viene chiamato “plurirettangolo inscritto” e la sua area fornisce, evidentemente, un’approssimazione per difetto dell’area del trapezoide, approssimazione tanto più precisa quanto più alto è il numero n delle suddivisioni di [a,b] (in fig. 2a è n=4, e l’approssimazione è molto imprecisa; ma in fig. 2b, con n=8, l’approssimazione si fa già più soddisfacente). Abbiamo
Area plurirettangolo inscritto = = approssimazione per difetto dell’area del trapezoide = = somma aree rettangoli ombreggiati =
Le figure mostrano anche il cosiddetto “plurirettangolo circoscritto” (dai contorni superiori tratteggiati), la cui area rappresenta un’approssimazione per eccesso dell’area cercata, tanto più precisa quanto più è alto il numero n delle suddivisioni di [a, b] .
Area plurirettangolo circoscritto = = approssimazione per eccesso dell’area del trapezoide = = somma aree rettangoli più alti =
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Figure 2a (sopra) e 2b (sotto)
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Esercitazioni: sia con EXCEL, che con TURBO PASCAL, determina un’approssimazione per difetto e una per eccesso dell’area sotto la curva (sull’intervallo ), tali che differiscano tra loro meno di 0,0001.
(Per inciso, l’area in questione vale esattamente 15/4 = 3,75. Come ho fatto a determinarne il valore “esatto che più esatto non si può” ? Ti piacerebbe saperlo, vero? EH, EH!!! Non devi far altro che proseguire la lettura! …)
Poniamoci ora in una situazione più generale.
Non supporremo più che la funzione sia necessariamente monotòna su [a,b];
ci limiteremo a supporla continua su [a,b].
In questo caso, le altezze dei singoli rettangoli costituenti il plurirettangolo inscritto e il plurirettangolo circoscritto non saranno più, in generale, i valori assunti dalla funzione alle estremità dell’intervallino , ma saranno, rispettivamente, il minimo e il massimo della su
(Osserviamo per inciso che una funzione continua su di un intervallo chiuso e limitato ammette ivi sempre minimo assoluto e massimo assoluto: teorema di Weierstrass).
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Avremo allora Area plurirettangolo inscritto = = approssimazione per difetto dell’area del trapezoide = = somma aree rettangoli ombreggiati =
Area plurirettangolo circoscritto = = approssimazione per eccesso dell’area del trapezoide = = somma aree rettangoli più alti =
Si capisce che facendo crescere n (numero delle suddivisioni di [a,b] in sottointervalli), potremmo ottenere approssimazioni, rispettivamente per difetto e per eccesso, tanto precise quanto lo desideriamo, dell’area del trapezoide. |
Figura 3 |
In queste condizioni (funzione continua, ma non necessariamente monotòna), l’approssimazione dell’area del trapezoide tramite computer sarebbe meno agevole.
(E’ pur vero che, di norma, è possibile considerare l’intervallo [a,b] come una unione di un numero finito intervalli in ciascuno dei quali la funzione sia monotòna, ed effettuare un calcolo di aree parziali che poi verranno sommate).
Di fronte ad una funzione continua ma non monotòna su di un intervallo, per calcolare tramite computer l’area sotto la curva”, potremmo anche procedere nel modo seguente:
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Effettuiamo la solita suddivisione di [a,b] in n sottointervallini uguali, ciascuno di ampiezza , e andiamo a considerare, su ciascun intervallino , un’ascissa qualsiasi (nella Fig. 4 abbiamo preso nel punto medio dell’intervallino, ma non necessariamente dev’essere proprio così).
Se ora calcoliamo la somma delle aree dei rettangoli di base e altezza , ossia se calcoliamo
Area plurirettangolo “intermedio” = = approssimazione dell’area del trapezoide = ,
si capisce che, facendo crescere il numero n di suddivisioni di [a, b], potremmo approssimare l’area del trapezoide con la precisione desiderata. |
Fig. 4 |
Esercitazioni: sia con EXCEL , che con TURBO PASCAL, utilizza il metodo del “plurirettangolo intermedio” , prima nella versione “punto medio di ogni intervallino” poi nella versione “punto preso a caso su ogni intervallino”, per ottenere approssimazioni soddisfacenti (devi valutare tu quando si possano considerare tali) dell’area sotto la curva nell’intervallo .