3. Osservazioni e proprietà

 

Osserviamo ancora che la definizione appena posta di “integrale definito”, seppure sia stata introdotta a partire da considerazioni di carattere geometrico, ha significato anche indipendentemente da interpretazioni geometriche.

 

Non è poi necessario che la funzione f(x) assuma, nell’intervallo [a,b], esclusivamente valori positivi, come abbiamo supposto fin qui per evitare complicazioni. E’ comunque ovvio che, se f(x) è negativa sull’intervallo [a,b], negative saranno pure le somme ,  e negativo sarà quindi il valore dell’integrale .

Dal punto di vista geometrico, questo numero negativo misurerebbe l’ “area con segno” tra la curva e l’asse x, entro il campo di ascisse considerato. Il valore assoluto dell’integrale darebbe il valore dell’ “area senza segno”.

 

E se la f(x) assumesse, su [a,b], valori sia positivi che negativi?

Beh, allora in ciascuna somma  o  avremmo una parte degli addendi positiva e un’altra parte negativa,

e il segno dell’integrale dipenderebbe da … ma aiutiamoci con una figura.

 

Fig. 5

Nella figura, per comodità grafica, abbiamo rappresentato una somma integrale “intermedia” anziché (come è più usuale) una somma integrale inferiore o superiore, ma si capisce che il discorso non cambia nella sostanza. Insomma, è evidente (e si potrebbe puntualmente dimostrare) che in situazioni come quella della figura, cioè quando la f(x) non ha segno costante su [a,b], l’integrale  avrebbe il significato di “somma algebrica di aree con segno”: e pertanto avrebbe valore positivo o negativo a seconda che l’estensione complessiva dei pezzi di trapezoide al di sopra dell’asse x sia maggiore o, rispettivamente, minore dell’estensione complessiva dei pezzi di trapezoide che stanno sotto l’asse x.

Verifica empiricamente questo fatto calcolando, con EXCEL o con TURBO PASCAL, l’integrale :

le approssimazioni trovate avranno, se il numero n delle suddivisioni di [0,1] è sufficientemente elevato, valori vicinissimi a zero. Ciò significa che la porzione di superficie al di sotto dell’asse x dà all’integrale un contributo negativo uguale e opposto al contributo positivo che proviene dalla porzione al di sopra dell’asse x. La “somma algebrica delle aree con segno” è pertanto nulla.

OSSERVAZIONE: l’espressione linguistica “area sotto la curva” può essere ancora utilizzata, per estensione,  anche nei casi in cui la curva vada a finire tutta o in parte nel semipiano delle ordinate negative: il significato è allora quello di “area con segno”, o di “somma algebrica di aree con segno”.

 

L’interpretazione geometrica permette anche di comprendere molto bene la PROPRIETA’ espressa dalla seguente uguaglianza:    .	Fig. 6a
Ma il bello è che l’ uguaglianza di cui sopra vale QUALUNQUE SIA LA POSIZIONE RECIPROCA DEI TRE PUNTI a, b, c, per il fatto che si pongono le seguenti CONVENZIONI:   ;
Fig. 6b	Fig. 6c