5. L’ “antiderivata” o “primitiva” di una funzione assegnata.

      Insomma, l’ “integrale indefinito”.

 

Si dice “integrale indefinito” di una funzione , la famiglia di tutte e sole quelle funzioni la cui derivata è uguale a . Se una funzione  è tale che , allora si dice che  è una “antiderivata”, o una “primitiva”, della . Il termine più usato è “primitiva”.   Poiché: a)       se due funzioni differiscono per una costante additiva, allora hanno la stessa derivata; b)       e, viceversa, se due funzioni hanno la stessa derivata, allora differiscono per una costante additiva (conseguenza del Teorema di Lagrange), se ne deduce che, data una funzione , se essa ammette una primitiva , ne ammetterà infinite: si tratterà di tutte e sole le funzioni che si possono scrivere sotto la forma .   Il simbolo di integrale indefinito è il seguente:   (leggi: “integrale di  in  ”). Evidentemente, tale simbolo è  stato scelto per via del legame che il teorema di Torricelli-Barrow stabilisce fra il problema del “calcolo dell’area sotto una curva” (integrale DEFINITO) e la ricerca dell’ “antiderivata” di una funzione (integrale INDEFINITO, appunto). Poiché, dunque, il simbolo di integrale indefinito indica la FAMIGLIA di tutte le primitive della funzione  (o, se si preferisce: indica la GENERICA primitiva della  ), esso contiene implicitamente una costante additiva arbitraria: ad esempio

 

Ricordiamo che la derivata è un “operatore lineare”, nel senso che la derivata di una combinazione lineare di funzioni è uguale alla combinazione lineare delle derivata (s’intende, con gli stessi coefficienti):   .   Ne consegue perciò che anche l’integrale indefinito è un operatore lineare:   Esempio:

 

·          Così come esistono delle ben precise “formule di derivazione”, similmente è possibile scrivere tutta una serie di  “formule di integrazione indefinita” (quando non ci sia possibilità di equivoco scriveremo semplicemente: “integrazione”) ed elaborare, per i casi più complessi, delle “tecniche di integrazione indefinita” (integrazione “per parti”, integrazione “col circolo vizioso apparente”, ecc.)

Mentre però la derivazione è una procedura del tutto meccanica, l’integrazione è, in una certa misura, un’ “arte”, che richiede intuito, e capacità di collegare e reinterpretare procedure e formule diverse.

 

·          Si può dimostrare che una funzione, che sia continua su di un intervallo, è sempre ivi integrabile; tuttavia, il problema di risalire all’espressione analitica dell’integrale può essere anche molto difficile.

·          Aggiungo che per alcune funzioni costruite componendo funz. elementari, ad esempio la fondamentale , importantissima in Teoria degli Errori, è stato dimostrato che l’integrale indefinito, pur esistente data la continuità della funzione integranda, non ammette una espressione analitica costituita da composizioni di funzioni elementari.

 

·          Le tecniche di “integrazione indefinita”, o “antiderivazione”, sono nella maggior parte dei casi utilizzate per poi procedere al calcolo di un “integrale definito”, ovvero dell’ “area sotto una curva “; la loro importanza è perciò alquanto diminuita da quando, tramite i computer, possiamo utilizzare opportuni algoritmi di “integrazione numerica” per approssimare,  con la precisione desiderata,  l’integrale definito di una funzione assegnata, senza aver bisogno di calcolarne l’antiderivata.

Noi impareremo le formule e le tecniche fondamentali di integrazione indefinita, senza scomodare casi inutilmente complicati. Tuttavia l’argomento “integrazione indefinita” non sarà trattato su queste dispense.