6. Il “teorema della media del calcolo integrale”.
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Se una funzione è continua su di un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora esiste certamente, nell’intervallo aperto (a, b), almeno un’ascissa c tale che
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Giustificazione con l’intuizione geometrica: Presa una retta orizzontale, potremo sempre spostarla verso l’alto o verso il basso in modo da realizzare la situazione in cui l’area del rettangolo compreso fra la retta e l’asse x, sull’intervallo [a, b], sia perfettamente uguale all’area del trapezoide. L’ordinata costante dei punti di tale retta dovrà evidentemente essere compresa fra il minimo assoluto e il massimo assoluto della funzione su [a, b], quindi la retta sarà obbligata a tagliare la curva continua in almeno un punto. L’ascissa di tale punto di intersezione retta-curva è l’ascissa c di cui il teorema afferma l’esistenza. |
Fig. 9 |
Dimostrazione
La funzione , per ipotesi continua sull’intervallo chiuso e limitato [a, b], è ivi dotata di minimo assoluto m e di massimo assoluto M (Teorema di Weierstrass).
Se ora noi prendiamo una qualsiasi “somma integrale inferiore”, avremo
e analogamente, presa una qualsivoglia somma integrale superiore, avremo
Poiché dunque per ogni n risulta
si avrà
ed essendo
sarà dunque
da cui
Esiste perciò (teorema dei valori intermedi o di Darboux) un’ascissa c, con a < c < b, tale che
quindi , C.V.D.
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L’ordinata viene chiamata “valor medio” della funzione su [a, b].
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