Se  è una funzione continua sull’intervallo [a, b],

allora la derivata della funzione integrale

è uguale al valore della funzione integranda  in corrispondenza dell’ascissa nella quale si deriva:

                   a                                x   c  x+               b

Dimostrazione

Consideriamo un’ascissa x fissata a piacere in [a, b]

e scriviamo il rapporto incrementale della funzione  nel punto x. Avremo:

dove l’ultimo passaggio è un’applicazione del Teorema della Media sull’intervallo [  ] :

c è appunto l’ascissa di cui quel teorema assicura l’esistenza.

Il punto c dipende da , ossia  è  , e si ha .

Ora faremo tendere  a zero; ma quando  tende a zero, l’ascissa , essendo “stretta” fra  (fissato) e , tenderà a  e avremo:

, C.V.D.

NOTA: quest’ultimo passaggio dipende strettamente dalla ipotesi di continuità per la .

Volendo, per comprenderlo meglio, possiamo porre , con  e , e avremo

, appunto per la continuità della  nell’ascissa .

OSSERVAZIONE

in tutto il procedimento dimostrativo, per rendere il ragionamento più spontaneo e anche per ragioni di praticità nell’esposizione, abbiamo supposto positivo l’incremento . E’ chiaro che il tutto si potrebbe riformulare per un  di segno qualsiasi.