8.  La formula fondamentale per il calcolo di un integrale definito

Una volta acquisito il Teorema Fondamentale, dovendo calcolare , è lecito procedere come segue.

Il nostro obiettivo è di scrivere l’espressione della funzione integrale ,

della quale ci interesserà poi calcolare il valore .

Poiché il Teorema ci assicura che , ricaveremo dunque l’espressione analitica della  determinando l’ “antiderivata” (o “primitiva”) della , con la tecnica di “antiderivazione” opportuna.

Tuttavia, sappiamo che tale primitiva è individuata a meno di una costante additiva .

Supponiamo ora di aver trovato una qualsiasi fra le infinite primitive della . Sia  tale primitiva.

 non è, a meno di un colpo di fortuna, proprio la funzione integrale  che ci interessa;

tuttavia,  differisce da  per una costante additiva e si ha dunque

Adesso abbiamo due possibilità:

q       Possiamo determinare il valore della costante , mediante la condizione . Avremo:

 da cui  e quindi  .

E a questo punto, concluderemo scrivendo: 

q       Oppure possiamo ricordare a memoria il risultato definitivo

e imboccare quindi una “scorciatoia”: evitiamo di ricavare esplicitamente la funzione integrale ,

perché in fondo ci basta quella primitiva  che avevamo trovato “antiderivando” la  prendiamo dunque la nostra brava primitiva  e calcoliamo la differenza fra i valori che essa assume in b e in a rispettivamente.

Di solito la procedura si espone con una simbologia speciale, molto efficace. Si scrive:

.

Il simbolo  è semplicemente un comodo “pro memoria”. Serve, molto banalmente, per “inscatolare” la  in modo da averla lì bella comoda, e contemporaneamente indicare che di questa funzione si dovranno calcolare i valori in b e in a, per farne la differenza.

 

 

E’ più conveniente procedere attraverso la “scorciatoia” (quindi, con il secondo dei due metodi).