ESERCIZI SVOLTI SUI LIMITI

 

LIMITE DI UN POLINOMIO QUANDO   

 

NOTA 1 -  Il limite si presenta come Forma di Indecisione

NOTA 2 -  Non si tratta di una Forma di Indecisione

NOTA 3 -  F.I.

NOTA 4 -  F.I.

 

Generalizzando opportunamente, si vede che:

 

REGOLA: il limite di un polinomio, al tendere della variabile a infinito (  o  ),

può,  eventualmente,  presentarsi come Forma di Indecisione (F.I.),

ma alla fine risulta sempre infinito;

per determinare il segno di questo infinito basta andare a vedere

come si comporta il termine di grado massimo.

 

Possiamo dare una dimostrazione generale di questa regola nel modo seguente:

 

Ora, poiché il contenuto della parentesi tende a 1, il limite considerato è uguale al limite cui tende il monomio , che è poi il primo termine del polinomio in questione. La regola è così dimostrata.

(Osserviamo che al tendere di x a , il monomio  tende a , con un segno che dipende in 

modo ovvio dal segno di   e, nel caso  , dalla parità o disparità dell’esponente m)

 

Insomma, il comportamento di un polinomio al tendere della variabile a infinito è determinato dal comportamento del termine di grado massimo, che risulta sempre “caratterizzante”, anche nei casi in cui nella somma algebrica si abbia un “conflitto” di infiniti.

A parte la dimostrazione formale che abbiamo dato, cerchiamo di comprendere bene questo fatto, andando a riprendere, per esempio, il primo limite proposto:

.

Qui si ha un “conflitto” fra il tendere a  del termine  e il tendere a   del termine , che è sommato algebricamente a .

Il termine , rispetto al termine , è più “forte” in quanto al coefficiente, ma inferiore in quanto al grado; però, quando x diventa molto grande, il coefficiente “perde di importanza” ed è in definitiva il grado a decidere il conflitto.

Nel nostro caso, il grado inferiore “penalizza” il termine  , che tende all’infinito meno rapidamente rispetto a .

Ad esempio, con  x=1000,  risulta , ma si ha già  che prevale nettamente su . 

Il termine “vincente”, quello che tende all’infinito con maggiore rapidità, è quindi .

Pertanto,  nel “tiro alla fune” (dove  “tira” verso  e   “tira” verso  ),  trionfa, per via del grado superiore, il termine ,  e la somma algebrica, in definitiva, tende a  .

 

D’ora in poi, dovendo determinare il limite di un polinomio al tendere della variabile a ,

non staremo più a raccogliere x elevato all’esponente massimo, come abbiamo fatto nei primissimi esercizi; applicheremo invece la regola stabilita, vale a dire concluderemo immediatamente che il limite è infinito, e per trovare il segno di questo infinito guarderemo come si comporta il termine “caratterizzante”, cioè il termine di grado massimo del polinomio.

 

Esempi: