LIMITE DI UNA FUNZIONE RAZIONALE FRATTA

(= RAPPORTO DI DUE POLINOMI) QUANDO

NOTA 5 - Si tratta di una F.I. .

Ci attendiamo che sia il denominatore a tendere all’infinito più rapidamente (per via del grado superiore) e quindi che il limite sia 0.

Per maggiore sicurezza, raccogliamo sia a numeratore che a denominatore, x elevato all’esponente più alto, in modo da poter poi semplificare.

NOTA 6 - I termini , il cui numeratore è costante e il cui denominatore tende a , sono “evanescenti” (=tendenti a zero).

Il numeratore dell’ultima frazione ottenuta tende a 7, mentre il denominatore, prodotto di un fattore che tende a per un fattore che tende a 1, tende a .

Pertanto il limite è

NOTA 7 - F.I. . Questa volta ci si attende che il limite sia infinito, perché è il numeratore ad avere grado più alto e quindi a tendere all’infinito più rapidamente.

NOTA 8 - I termini , il cui numeratore è costante e il cui denominatore tende a , sono “evanescenti” (=tendenti a zero).

NOTA 9 - F.I. .

In questo caso numeratore e denominatore hanno lo stesso grado. Cosa succederà?

E’ possibile generalizzare quanto ci suggeriscono gli esempi di cui sopra, e concludere che, per determinare il limite di una funzione “razionale fratta” (=rapporto fra due polinomi), basta guardare i gradi dei polinomi a numeratore e a denominatore:

se prevale il grado del denominatore, il limite è 0;
se prevale il grado del numeratore, il limite è infinito;
se num. e denom. hanno lo stesso grado, il limite è uguale al rapporto fra i coefficienti dei termini di grado massimo.

Infatti:

A questo punto:

la frazione
, tenuto conto dei termini evanescenti, tende ad
,
mentre per quanto riguarda la potenza
avremo che:

… da cui seguono le regole prima enunciate.

Nel caso in cui e il limite sia , stabilire il segno di questo è molto banale:

tale segno dipende dalla parità o disparità della differenza m-n, combinata con la negatività o positività del rapporto a₀/b₀

Altri esempi: