IL LIMITE DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO: RICAPITOLIAMO

(limite finito per x che tende a un’ascissa finita)

 

Consideriamo una funzione , e sia x₀ un'ascissa fissata.

 

 

"Far tendere x a x₀" significa far assumere a x valori sempre più vicini a x₀.

 

 

Possiamo "far tendere x a x0 da sinistra"… (scriveremo  )
… oppure “da destra" … (scriveremo  )
… o, ancora, quando non abbia importanza distinguere il caso  dal caso , “bilateralmente” (scriveremo  )

 

Mentre si sta facendo tendere x a x₀, interessa stabilire "a cosa tende (= si avvicina) il valore corrispondente di y".

Se accade che, quando x è molto prossima a x₀,

l’ordinata corrispondente è molto prossima ad un certo valore l

(come nel caso della figura sottostante, nella quale, per x prossimo a 2, y=f(x) è prossima a 3), allora si scriverà

 

 

 

che si legge:

“il limite, per x che tende a x₀, di f(x), è l”

 

 

E' importante puntualizzare che, quando noi pensiamo al ,

non ci interessa minimamente cosa accade per x UGUALE A x₀;

anzi, con  la funzione potrebbe anche non esistere

(è questo il caso illustrato in figura, dove il pallino vuoto, il “buco”,

evidenzia proprio la non esistenza della funzione con  ).

Noi vogliamo stabilire a quale valore si avvicina la y, quando x  SI AVVICINA a x_0.

E’ in esame dunque il comportamento della funzione IN PROSSIMITA’ DI x₀, ma non IN x₀.

 

Per questa ragione, TUTTE E TRE le funzioni seguenti

sono perfettamente equivalenti dal punto di vista del limite per ,

in quanto esse differiscono solamente per il comportamento IN x₀,

che ai fini della la determinazione del limite E’ IRRILEVANTE.

 

Non possiamo tuttavia a questo punto pretendere di aver DEFINITO in modo rigoroso cosa si intenda per “limite”. Con quali parole, infatti, abbiamo cercato di descrivere questo concetto?

Rileggiamole:

 

“Se accade che, quando x  è molto prossima a x₀,

l’ordinata corrispondente è molto prossima ad un certo valore l,

allora si scriverà  

e si leggerà: il limite, per x che tende a x₀, di f(x), è l”.

 

Ma adesso riflettiamo…

cosa significa esattamente “x MOLTO PROSSIMA a x₀”, “y MOLTO PROSSIMA a  l ”?

In che senso va inteso l’avverbio “MOLTO”?

Insomma: MOLTO … QUANTO?

Il nostro primo tentativo di definizione, difetta clamorosamente in PRECISIONE!

 

Potremmo ritenere di colmare l’ambiguità esprimendoci nel modo seguente:

 

“Se accade che, quanto più x si approssima a x₀,

tanto più l’ordinata corrispondente si approssima a l,

allora si scriverà  

e si leggerà:  il limite, per x che tende a x₀, di f(x), è l”.

 

TUTTAVIA, questa descrizione potrebbe essere adeguata nel caso della funzione rappresentata nella figura qui a fianco …
… ma escluderebbe quei casi in cui l’avvicinamento di y a l è “globale” ma non “unidirezionale”, come nel caso, che abbiamo già incontrato, della funzione , per la quale abbiamo convenuto che sia ragionevole poter scrivere    anche se l’avvicinamento della y all’ordinata 0 non ha carattere “monotòno”, ma oscillante …
… o il caso ancora più anomalo della   per la quale abbiamo accettato la correttezza della scrittura    pur in presenza di un avvicinamento della y all’ordinata 0 non “monotòno”, ma “saltellante”

 

Il problema di definire rigorosamente il “limite” è tutt’altro che semplice.

 

Lo affronteremo nel capitolo seguente (considerando, inoltre, anche i casi in cui il limite sia “infinito” anziché finito e/o la x tenda a “infinito” anziché ad un’ascissa finita).

 

Una definizione di limite, per essere soddisfacente, dovrà

 

I.                    tradurre in modo non ambiguo e rigorosamente quantitativo

           le idee di una x “molto prossima a x₀”, cui corrisponde una y “molto prossima a l”,

 

II.                 richiedere non soltanto che la y si avvicini “indefinitamente” a  l 

      (cioè: penetri in un intorno arbitrariamente piccolo di  l),

      ma richiedere contemporaneamente che, purché la x sia “sufficientemente vicina” a x₀ ,

      la y corrispondente non fuoriesca più da tale intorno.

 

Come vedremo,

si riuscirà ad elaborare una definizione corretta a patto di RIBALTARE l’ordine in cui vengono presi in considerazione x0 e l: infatti, spontaneamente si è portati a pensare PRIMA alla x che si avvicina a x0, POI alla y corrispondente che si avvicina a l; ma una definizione matematicamente ineccepibile partirà invece da l, parlando di una y che si mantiene vicina a l tanto quanto lo si desidera, a patto di prendere x sufficientemente vicina a x0.