INTRODUZIONE  AL CONCETTO DI “LIMITE”

 

ESEMPI

 

Esempio 1

 

Fra le molte affascinanti formule che la Geometria ci propone, ce n’è anche una che permette, nota la lunghezza  del lato del poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza di raggio r, di ricavare la lunghezza  del lato del poligono regolare inscritto, avente numero di lati doppio.

Tale formula, che non è difficile ricavare utilizzando in modo opportuno i teoremi di Pitagora e di Euclide, è la seguente:

 

 

Supponiamo che la nostra circonferenza abbia raggio unitario:  prendiamo, insomma,

.

Partiamo dall’esagono regolare inscritto:

.

E’ noto che il lato dell’esagono regolare inscritto è uguale al raggio della circonferenza:

si ha dunque

.

Bene!

Applicando ora la formula, potremo immediatamente ricavare la misura del lato del dodecagono regolare inscritto:

 

E iterando il procedimento, saremo poi in grado di calcolare le lunghezze dei lati dei poligoni regolari inscritti, aventi 24 lati, 48 lati, 96 lati … :

 

 

 

…

Nella tabella seguente ci siamo serviti della conoscenza di  per ricavare i perimetri dei rispettivi poligoni:

 

 

n

lato

perimetro

6

1

6

12

0,51763809

6,211657082

24

0,261052384

6,265257227

48

0,130806258

6,278700406

96

0,065438166

6,282063902

192

0,032723463

6,282904945

384

0,016362279

6,283115216

768

0,008181208

6,283167784

1536

0,004090613

6,283180926

3072

0,002045307

6,283184212

6144

0,001022654

6,283185033

12288

0,000511327

6,283185237

…

…

…

 

 

 

                     

La tabella mostra che quando il numero di lati diventa molto alto, il valore del perimetro, pur aumentando sempre, presenta una tendenza a “stabilizzarsi” in prossimità di un valore leggermente superiore a 6,28.

Ciò è perfettamente comprensibile se pensiamo che, all’aumentare del numero di lati, il poligono regolare inscritto tende a “riempire” sempre più il cerchio, e quindi il suo perimetro tende ad approssimare sempre più la lunghezza della circonferenza, ossia il numero .

 

Considerata ora la successione

                    

                 

 

 

…

se si vuole indicare il fatto che

“il valore della quantità , per valori molto alti di k, è assai prossimo al numero  ”,

si potrà utilizzare la scrittura seguente:

 

che si leggerà

“il limite, al tendere di k a infinito, di , è  ”.

 

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