UN PICCOLO “ZOO” DI FUNZIONI,

PER COSTRUIRE IL CONCETTO DI “LIMITE”

(parte 2)

Per tracciare il grafico di questa funzione, si può pensare di partire dai grafici di e di .

Preso un valore di x, l’ordinata corrispondente si otterrà moltiplicando le due ordinate e .

Ma come si modifica l’ordinata x, allorquando viene moltiplicata alternativamente per i valori

, nonché per tutti i valori intermedi tra 1 e +1 ?

Facile:

· quando l’ordinata x viene moltiplicata per +1, resta invariata

· quando viene moltiplicata per un numero compreso fra 0 e 1, diminuisce (in valore assoluto)

· quando viene moltiplicata per 0, diventa uguale a 0

· quando viene moltiplicata per 1, cambia di segno diventando x,

· quando viene moltiplicata per un numero compreso fra 0 e 1, cambia di segno e diminuisce in valore assoluto.

… Oppure, si può pensare a come si modifica l’ordinata , allorquando viene moltiplicata per x:

· quando l’ordinata originaria è uguale a 1, dopo la moltiplicazione diventa uguale a x;

· quando l’ordinata originaria è uguale a 0, dopo la moltiplicazione resta uguale a 0;

· quando l’ordinata originaria è compresa fra 0 e 1, dopo la moltiplicazione risulta compresa fra 0 e x;

· quando l’ordinata originaria è uguale a -1, dopo la moltiplicazione diventa uguale a -x;

· quando l’ordinata originaria è compresa fra 0 e -1, dopo la moltiplicazione risulta compresa fra 0 e x.

Possiamo anche considerare il fatto che

o in alternativa:

Il grafico sarà perciò il seguente (stesse unità di misura in orizzontale e in verticale):

Di fronte ora alla scrittura

è del tutto spontaneo convenire

che il limite valga 0.

Infatti si osserva che al tendere di x a 0,

la y corrispondente continua ad oscillare

(con “frequenza” crescente),

ma le oscillazioni hanno

ampiezza sempre più piccola,

cosicché finiscono per circoscriversi

in fasce di ordinate sempre più ristrette,

in prossimità dell’ordinata 0.