f)       Analogamente: possibilità di considerare soltanto valori di x “vicini a x₀”

 

Analogamente, non è difficile convincersi che, nel corso di una verifica della correttezza di un limite per  attraverso la definizione, è possibile, volendo, considerare soltanto "valori di x vicini a x₀” 

 

g)     Dal “piccolo a piacere” al “grande a piacere”

 

E ancora: quando abbiamo enunciato le definizioni di limite infinito, ad esempio la:

 

nel riferirci al numero M>0, abbiamo detto che andava pensato “grande a piacere”, “arbitrariamente grande”; ma avremmo potuto benissimo fare a meno di locuzioni di questo tipo!

In effetti la definizione, espressa in simboli, si limita a presentare un quantificatore universale , che significa semplicemente “per ogni, per qualsiasi, qualunque sia, comunque si prenda” e quindi è indifferente rispetto al “grande” o al “piccolo”.

Tuttavia, parlare di un M>0  “grande a piacere” o simili, si rivela utile sia da un punto di vista psicologico, sia per ricordare che:

 

se, in un caso specifico, devo dimostrare che

 

posso supporre, se lo ritengo comodo o utile, M grande a mio piacere.

Infatti, se io riesco a dimostrare che, ad esempio,  per tutti gli M maggiori di 1.000.000 è possibile trovare un  "che vada bene", allora, evidentemente, resterà pure dimostrato che per qualunque M esiste un  che va bene (preso un M minore o uguale di 1.000.000, lo rimpiazzo provvisoriamente con un altro numero M’ maggiore di 1.000.000, e il  che va bene per questo M’ andrà bene a maggior ragione anche per l’ M fissato inizialmente)