e)    Psicologia, rigore e la pratica degli esercizi

 

La locuzione "  arbitrariamente piccolo" (o "piccolo a piacere"),  discussa al precedente punto 4), è comunque adottata da molti testi anche perché è utile a suggerire, quando ce ne sia bisogno, la seguente osservazione: se, in un caso specifico, devo dimostrare che , potrò supporre, se lo ritengo comodo o utile,  piccolo a mio piacere, abbastanza piccolo da consentire tutti i passaggi algebrici di cui io avverta l'esigenza ai fini del procedimento. Infatti, se riesco a dimostrare che - tanto per fare un esempio -  per tutti gli  minori di 0,001 è possibile trovare un  "che vada bene", allora, evidentemente, resterà pure dimostrato che per qualunque  esiste un  che va bene.

Considera a proposito l‘esercizio seguente.

Supponiamo che sia richiesto di dimostrare, servendosi della definizione, che   

Imposteremo allora la disequazione    con l’obiettivo di far vedere che essa è verificata in tutto un opportuno intorno dell’ascissa 3 (… fatta eccezione, al più, per x=3; ma in questo esempio comunque è subito evidente che l’eccezione non si verificherà).

 

Dunque scriveremo:

 

… e a questo punto, per liberare x dalla “prigionia” della radice quadrata, desidereremmo poter elevare al quadrato.

Però sappiamo che una disequazione può essere elevata al quadrato (nel senso che, così facendo, si muta in una disequazione con le stesse soluzioni di quella di partenza) soltanto se i membri della disequazione sono positivi.

Ora, riguardo all’espressione , essa è positiva  soltanto quando .

Allora, che fare? Sarà forse necessaria una laboriosa distinzione di casi?

NO! Perchè il bello è che se noi ci limitiamo a prendere in considerazione soltanto gli  tali che , il nostro procedimento dimostrativo avrà poi un valore del tutto generale!!!

Cerchiamo di spiegare in dettaglio il motivo di questo fatto.

 

Supponiamo di aver dimostrato che l’intorno cercato esiste per tutti gli .

Il nostro obiettivo finale è di far vedere che, comunque si fissi un , esiste un  tale che … ecc. ecc.

Quindi, il discorso, ormai portato a termine per gli , rimarrebbe apparentemente ancora aperto per gli  …

… ma …

… se noi prendiamo un , possiamo passare a considerare un qualunque numero ausiliario ,  con .

Per questo  abbiamo già dimostrato che esiste un  tale che, se

 ,si ha

 

Ma allora per tutti gli x tali che

 

risulterà a maggior ragione

   (infatti, essendo , sarà  )

Pertanto, in corrispondenza dell’  da noi scelto, SIAMO RIUSCITI A DETERMINARE un  (il  ) tale che ecc. ecc.

 

 

Tutto questo discorso mostra che, in definitiva, nell’affrontare la disequazione

 

noi possiamo pensare  piccolo a piacere, talmente piccolo da consentirci di effettuare il passaggio di elevamento al quadrato che ci consentirà di isolare x (quindi: , per le nostre esigenze).

 Vediamo ora che i due numeri  e  sono, rispettivamente, il primo minore e il secondo maggiore di 3. Pertanto la disequazione posta è effettivamente verificata in tutto un intorno dell’ascissa 3,  C.V.D.

 

 

OSSERVAZIONE:

·          Se desideriamo un intorno CIRCOLARE, ci basterà prendere il raggio  di questo intorno uguale (o minore) della più piccola fra le distanze dell’ascissa 3 dai due estremi  e  dell’intorno trovato:

.

 

Se esiste un intorno non circolare di un punto, nel quale sia verificata una certa condizione, allora esisterà sempre anche un’intorno CIRCOLARE di quel punto (anzi, infiniti intorni circolari), nel quale la stessa condizione risulta verificata. Certo, perché ogni intorno  di un punto (=intervallo aperto contenente quel punto) contiene infiniti intorni circolari del punto stesso (tutti quelli il cui raggio è minore o uguale della più piccola fra le distanze del punto considerato, dalle estremità dell’intorno  )