LIMITI, PARTE A: DEFINIZIONE DI LIMITE

1.    LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI LIMITE, NEI VARI CASI

1° caso:  Limite finito per x che tende ad un valore finito

 

Definizione:  

Si dice che “il limite, per x che tende a x0 , di f(x) è uguale a  ” se e solo se

per ogni intorno di , esiste un intorno di x0 (NOTA 1) tale che,

per ogni x appartenente a questo intorno di x0  (escluso tutt’al più  x0 : vedi NOTA 2),

f(x) appartenga all’intorno di  fissato inizialmente.

 

Oppure:  

Si dice che “il limite, per x che tende a x0 , di f(x) è uguale a  ” se e solo se:

per ogni  [comunque piccolo si prenda quell’  ] esiste un  (NOTA 3) tale che,

per ogni x appartenente all’ intervallo  (escluso tutt’al più  x0: NOTA 2),

f(x) appartenga all’intervallo  

 

Oppure:  

Si dice che “il limite, per x che tende a x0 , di f(x) è uguale a  ” se e solo se:

per ogni  [arbitrariamente piccolo]  esiste un  (NOTA 3) tale che,

se x è compreso fra  e  (escluso tutt’al più  x0: NOTA 2), f(x) risulti compreso fra  ed  

 

Oppure:  

Si dice che “il limite, per x che tende a x0 , di f(x) è uguale a  ” se e solo se:

per ogni  [piccolo a piacere] esiste un  (NOTA 3) tale che,

se la distanza di x da x0 è minore di  (e x è diverso da  x0: NOTA 2 ),

la distanza di f(x) da  risulti minore di  (vedi a questo punto NOTA 4)

·          NOTA 1: questo intorno di x0 dipende, di norma, dall’intorno di , nel senso che è tanto più piccolo, quanto più piccolo è  

·          NOTA 2: abbiamo già osservato, presentando dal punto di vista intuitivo il concetto di limite, come, quando pensiamo a x tendente a x0, non ci interessa cosa accade IN x0 (dove, eventualmente, la funzione potrebbe addirittura non essere definita), ma solo cosa accade “in prossimità”, diciamo così, di x0

·          NOTA 3: questo  dipende, di norma, da , nel senso che è tanto più piccolo, quanto più piccolo è .

Per indicare questa dipendenza di  da , si usa a volte la notazione funzionale  

NOTA 4: Le quattro definizioni alternative di limite, che abbiamo proposto, sono tutte equivalenti fra loro.

Ciò è subito evidente se si conviene che gli intorni menzionati nella prima delle quattro definizioni siano circolari;

ma poi un’analisi attenta permette di stabilire che nella prima definizione data è del tutto indifferente “leggere” gli intorni in questione come intorni circolari o come intorni generici.  Ciò si deve al fatto che ogni intorno I di un punto (=intervallo aperto contenente quel punto) contiene un intorno CIRCOLARE del punto stesso (anzi, ne contiene infiniti: tutti quelli il cui raggio è minore o uguale della più piccola fra le distanze del punto considerato, dalle estremità dell’intorno I )