d)      Psicologia e rigore

 

Ripensiamo alla definizione di limite finito per x che tende a un valore finito, data ad esempio nella forma:

 

Quando si è trattato di esporta a parole, abbiamo scritto:

Si dice che “il limite, per x che tende a x0 , di f(x) è uguale a  ” se e solo se:

per ogni  [ piccolo a piacere ] esiste un  tale che, 

se la distanza di x da x0 è minore di  (e x è diverso da  x0: il comportamento della funzione IN x0 non ci interessa ),

la distanza di f(x) da  risulti minore di  

 

 

E’ importante osservare che locuzioni del tipo:

  • per ogni , piccolo a piacere
  • per un  fissato, arbitrariamente piccolo
  • comunque piccolo si fissi   “

hanno soprattutto una funzione PSICOLOGICA:

dal punto di vista matematico, possiamo essere più “asciutti” e dire semplicemente:

“per qualsiasi  “, “comunque si fissi  “, “per un  arbitrario”.

 

 

Proprio per questo la definizione data è completamente rigorosa!

Essa non fa più riferimento (come nei discorsi introduttivi al concetto di limite) a descrizioni vaghe e matematicamente discutibili del tipo:

“x molto vicino a x0,   f(x) molto vicino a  ”  (… bella forza! QUANTO vicino? …),

“piccola differenza”, “piccola distanza” ( … ma QUANTO piccola, insomma? …).

Questi tentativi “ingenui” di descrizione vengono ora rimpiazzati da un inequivocabile gioco di quantificatori: PER OGNI … ESISTE …

 

 

Analogo discorso, naturalmente, vale per espressioni linguistiche come “arbitrariamente grande”, “grande a piacere”, ecc. da noi usate in relazione al numero M nelle definizioni di limite infinito (ribadiremo questo aspetto più avanti).